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Operatornorm berechnen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Metrischer Raum/Topologie » Operatornorm berechnen « Zurück Vor »

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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1140
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 10:32:   Beitrag drucken

Hi Leute,

ich habe folgendes Problem:

Ich habe durch eine lineare Abbildung (Beispielsweise von IR^2->IR) durch eine "Matrix" gegeben (2x2 Matrix a,b,c,d wie üblich...)
Wie rechne ich nun die Operatornorm dieser Abbildung aus, wenn Beispielsweise mein IR^2 mit einer bestimmten Norm (der "unendlich Norm" oder der 2-Norm) ausgestattet ist?

Die Operatornorm ist ja immer eine feste Zahl, aber wie berechne ich diese?

Gruß N.
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Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 900
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 14:21:   Beitrag drucken

Niels,

Wenn f die fragliche lineare Abbildung ist und wenn
die gegebene Norm mit || || bezeichnet wird, so gilt

|| f || := sup { || f(x)|| ; ||x|| = 1 }
mfG Orion
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1147
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 16:13:   Beitrag drucken

Hi Orion,

und was bedeutet, das nun konkret?

Der Groschen ist noch nicht bei mir gefallen...

Gruß N.
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1434
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 17:15:   Beitrag drucken

Hallo Niels

Also Beispiel nehmen wir mal die Abbildung f:
(1 2)
(3 4)
und nehmen die Maximumsnorm.
Wir müssen nun alle Vektoren x=(a,b), deren Betrag eins ist, betrachten.
Es muss also gelten (bei der Maximumsnorm)
|a|=1 oder |b|=1 und
a aus [-1,1] und b aus [-1,1]
Es gilt f(x)=(a+2b,3a+b)

Offenbar gilt sup{||f(x)||¥| ||x||¥=1}=3+1=4

Also
||f||¥=4

MfG
Christian


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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 901
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 17:33:   Beitrag drucken

Niels,

Ein ganz lustiges Beispiel wäre z. B. die Scherung

f((x,y)) := (x+y , y).

Legt man die euklidische Norm zugrunde, so hat
man das Maximum von

(x+y)2 + y2

unter der Nebenbedingung

x2 + y2 = 1

zu bestimmen. Es tritt die goldene Zahl

g = (1+sqrt(5))/2

auf.
mfG Orion
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1151
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 20:23:   Beitrag drucken

Vielen Dank,

mal schauen ob ich es jetzt begriffen habe:

nehmen wir mal die gleiche Abbildung, diesmal aber die 1-Norm also ||(x,y)||1=|x|+|y|

es gilt wieder: f(x)=(a+2b,3a+b)

diesmal betrachte ich aber davon die 1-Norm:

||f(x)||1=||(a+2b,3a+b)||1

Nun gilt ja wieder |a|=1;|b|=1 also
also

||f||1=||(3,4)||1=|3|+|4|=3+4=7

ist das so richtig? habe ich nun das Prinzip verstanden oder nicht???

Gruß N.





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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 940
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 01:38:   Beitrag drucken

Leider nein, Niels.

Du musst solche Vektoren betrachten, für die ||(x,y)||1=1. Das bedingt aber keinesfalls |x|=1 oder |y|=1.

Wir können unsere Betrachtung auf positive Zahlen beschränken, also gilt x+y=1 und somit auch
||f(x,y)||1 = x+2y+3x+y = 4x+3y = 3+x

Folglich ist ||f||1=4.

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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1154
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 08:52:   Beitrag drucken

Hi Ingo,

Ok, bis zur Stelle

||f(x,y)||1=4x+3y

verstehe ich das noch, dann setzen wir unsere "Nebenbedingung" ein (also x+y=1 oder besser y=1-x)

4x+3(1-x)=4x+3-3x=3+x

soweit ist noch alles klar, aber wieso folgt daraus jetzt, das ||f||1=4 ist???

Liegt das daran, das ja ||x||1=1 sein muss und damit ich also 3+1=4 rausbekomme oder hat das was mit der Supremumsbildung zu tun?

Ich starte mal einen neuen Versuch, diesmal die 2-Norm:

||f(x,y)||2=||(x+2y,3x+y)||2

D.h.

sqrt((x+2y)^2+(3x+y)^2)
sqrt(x^2+4xy+4y^2+9x^2+6xy+y^2)
sqrt(10x^2+10xy+5y^2)

Nun kommt die Nebenbedingung:

x^2+y^2=1
y^2=1-x^2

sqrt(5x^2+10xy+5)
sqrt(5x^2+10x*sqrt(1-x^2)+5)

hmmm, würde ich jetzt x=1 einsetzen, so wäre die Wurzel aus 10 zu ziehen... Aber eigentlich sollte da die Wurzel aus 16 zu ziehen sein.

Denn:

Im endlich dimensionalen sind alle Normen äquivalent, d.h. es müsste bei der Operatornorm einer linearen Abbildung immer das gleiche rauskommen, egal welche Norm man betrachtet.

Also müsste ||f||2=4 sein, was ist bei meiner Rechnung mal wieder falsch gelaufen????

Gruß N.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1158
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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 13:18:   Beitrag drucken

Übrigens,

kann man auch die Operatornorm "allgemein" berechnen?
also Matrix (a,b,c,d)

Norm: 1- Norm: ||.||1

f(x,y)=(ax+by,cx+dy)

1- Norm davon:
(a+c)x+(b+d)y

Nebenbedingung: x+y=1=>y=1-x

(a+c)x+(b+d)*(1-x)
(a+c´-b-d)x+(b+d)
x=1
(a+c-b-d+b+d=a+c

also wäre ||f||1=a+c

bei uns oben wäre a=1,c=3 also a+c=4 was auch oben nachgerechnet worden ist!

Ist dies nun ein allgemeines Phänomen, oder liegt das daran das bei unseren Beispiel die Zahlen a,b,c,d besonders "schön" (d.h. positiv) gewählt worden?

Wie sieht es mit der Maximúms NOrm aus? die kann man doch nicht allgemein berechnen oder? Sondern da muss man argumentieren das auf endlich dimensionalen Räumen die Normen äquivalent sind und somit die Maximumsnorm mit der 1-Norm übereinstimmt (im Wert)?

Gruß N.
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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 943
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 13:57:   Beitrag drucken


quote:

soweit ist noch alles klar, aber wieso folgt daraus jetzt, das ||f||1=4



Weil wir x,y als positiv voraussetzen müssen. Somit ergibt sich aus y=1-x, daß x nicht größer als 1 gewählt werden kann.

2)

quote:

hmmm, würde ich jetzt x=1 einsetzen,



Wieso solltest Du? Bei den ersten beiden Normen war es einfach zu erkennen, wo das Supremum erreicht wird. Hier wäre eine genauere Untersuchung der Funktion h(x)=sqrt(5x^2+10x*sqrt(1-x^2)+5) nötig.

Ich hab mich da inzwischen ein wenig dran versucht und komme auf ein Optimum bei x=Ö((1/2)+(1/Ö20)). Leider wäre dann aber nur ||f||2=3,62<4
Also muss irgendwo noch ein Fehler im Ansatz deiner Überlegungen liegen, habe ihn aber noch nicht gefunden.
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1435
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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 16:46:   Beitrag drucken

Hallo

Ich habe das Beispiel jetzt nicht nachgerechnet, aber die Aussage, dass äquivalente Normen den gleichen Wert liefern ist falsch. Das sieht man ja schon, wenn man einfach mal irgendeinen Vektor nimmt. Z.B.
||(1,2)||1=3
||(1,2)||2=sqrt(5)

Äquivalenz von Normen bedeutet nur, dass sie den gleichen Grenzwertbegriff liefern. Also wenn eine Folge bzgl. einer Norm konvergiert, konvergiert sie auch bzgl. jeder äquivalenten Norm.

MfG
Christian
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1160
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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 17:27:   Beitrag drucken

Das heißt also, das es ein reiner Zufall war, das bei der Maximumsnorm und bei der 1- Norm das gleiche raukommt???

Wie sollt man den solche werte von Operatornormen allgemein berechnen??

N:
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1437
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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 17:58:   Beitrag drucken

Hi Niels

Das heißt also, das es ein reiner Zufall war, das bei der Maximumsnorm und bei der 1- Norm das gleiche raukommt???

Ja, genau

Wie sollt man den solche werte von Operatornormen allgemein berechnen??


Es geht wie Orion schon sagte darum Extrema unter einer Nebenbedingung zu finden.
Das geht z.B. mit Lagrangemultiplikatoren.
Wenn du willst könnten wir mal Orions Beispiel durchrechnen.

MfG
Christian
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1161
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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 18:26:   Beitrag drucken

Lagrangemultiplikatoren...

Ich habe es befürchtet...

Die waren zwar in der Vorlesung dran, aber richtig gerechnet, oder Sätze damit bewiesen haben wir nicht- nur halt definiert.

Aber gerne rechne ich das Beispiel durch...ist ja Klausurvorbereitung für Mittwoch...

N.
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1163
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 19:40:   Beitrag drucken

Noch eine Testaufgabe für mich:

gegebene Matrix:

(1 0)
(0 2)

gesucht ist die Operatornorm der durch die obige Matrix definierte lineare Abbildung f bzg. der Undendlich Norm (Maximumsnorm).

Mein Lösungsvorschlag:

||f||¥=2

ist das richtig?
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1438
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Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 23:17:   Beitrag drucken

Hi Niels

Deine Lösung ist richtig.

Hier mal eine für Orions Aufgabe:

Definiere die Funktion g durch
g(x,y)=x2+y2-1
Wir suchen das Maximum der Funktion
f(x,y)=(x+y)2+y2 auf der Menge g-1(0).

Es gilt
Ñf(x,y)=(2(x+y),2(x+y)+2y) und
Ñg(x,y)=(2x,2y)

Damit ein Extremum vorliegen kann, müssen die Gleichungen
(x+y)=lx
(x+y)+y=ly
erfüllt sein.

Wir nutzen zunächst die Nebenbedingung aus.
y=±sqrt(1-x2)

Das setzen wir in die erste Gleichung ein und lösen die Gleichung nach x auf. Man erhält die beiden Lösungen
x=±1/sqrt(2-2l+l2)
Das gleiche machen wir mit der zweiten Gleichung. Es ergibt sich:
x=±(l-2)/sqrt(5-4l+l2)

Die Lösungen setzt man gleich und löst nach l auf. Man muss hier immer aufpassen welche Gleichungen man gelöst hat, d.h. ob man am Anfang "+" oder "-" gewählt hat bei y=±sqrt(1-x2). Gleiches Problem tritt natürlich auch bei den Lösungen der quadratischen Gleichungen auf.

Jedenfalls erhält man
l=1+g [mit g als goldener Zahl]
oder
l=2-g
Es folgt
x=±1/sqrt(1+g2)
oder
x=±1/sqrt(2-2g+g2)

Damit erhält man schließlich als Lösungen die Vektoren
(1/sqrt(1+g2),g/sqrt(1+g2))
(-1/sqrt(2-2g+g2),(g-1)/sqrt(2-2g+g2))
(1/sqrt(2-2g+g2),-(g-1)/sqrt(2-2g+g2))
(-1/sqrt(1+g2),-g/sqrt(1+g2))

Es stellt sich heraus, dass ein Maximum an der Stelle (±1/sqrt(1+g2),±g/sqrt(1+g2)) liegt.

Dass es tatsächlich ein Maximum ist liegt daran, dass die Menge g-1(0) kompakt ist. Also muss f sein Maximum und Minimum annehmen.

Man hat damit
||f||=sqrt((2g2+2g+1)/(1+g2))~1,618

Ich hoffe mal ich hab mich nicht verrechnet...

MfG
Christian
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Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 902
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Veröffentlicht am Montag, den 12. Juli, 2004 - 07:45:   Beitrag drucken

Hallo Christian,

Ich hatte folgende Rechnung aufgemacht:

Das obige Gl.-System

(1-l)x + y = 0 , x + (2-l)y = 0

hat nichttriviale Lösungen g.d.w.

l2 - 3 l + 1 = 0 <=>

l1=1+g , l2 = 1-1/g.

Im 1. Fall folgt aus der Nebenbedingung

(x1,y1) = (1/sqrt(g+2))(1,g)

und nach kleiner Rechnung

||f(x1,y1)|| = g

Analog im 2. Fall :

||f(x2,y2|| = 1/g

Also

|| f || = g.
mfG Orion
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1165
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Montag, den 12. Juli, 2004 - 08:13:   Beitrag drucken

Das klingt ja höchst interessant...

obwohl solch "schwere Funktionen" nicht in der Klausur drankommen würden.

Wieso definierst du Funktionen f und g und betrachtest f auf g-1(0) ????

Wie sieht das Verfahren für allgemeine durch eine Matrix gegebene lineare Abbildung aus?
(einmal mit der Maximumsnorm, 1-Norm und der euklidischen Norm (2-Norm))

könnte das mir auch noch bitte jemand erklären?

Gruß N.


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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1440
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 12. Juli, 2004 - 10:43:   Beitrag drucken

Hallo Orion

Auch wenn unsere Ergebnisse verschieden aussehen, sie sind glücklicherweise identisch :-)

Allerdings frage ich mich, wie ich auf meine viel zu lange Rechnung gekommen bin, weil sich das Gleichungssystem ja viel leichter lösen lässt...

Wieso definierst du Funktionen f und g und betrachtest f auf g-1(0) ????

Also die Funktion f ist ja nur das, was Orion oben auch schon geschrieben hat, also die Scherung.
Passende Matrix wäre
(1 1)
(0 1)

Als Nebenbedingung haben wir ja
x2+y2=1
D.h. es sind genau die Werte für x und y zulässig, die Nullstellen der Funktion g sind. Daher kommt das g-1(0).

Wie sieht das Verfahren für allgemeine durch eine Matrix gegebene lineare Abbildung aus?
(einmal mit der Maximumsnorm, 1-Norm und der euklidischen Norm (2-Norm))


Du multiplizierst deine Matrix am besten mal mit einem Vektor (x,y). Wenn die Abbildung mit f bezeichnet ist, dann erhältst du wie oben die Form f(x,y)=(ax+by,cx+dy) mit Konstanten a,b,c,d.

Und für die Funktion hast du jetzt eben bestimmte Nebenbedingungen, die von der gewählten Norm abhängen. Bei der euklidischen Norm haben wir wie oben x2+y2=1.

Bei der 1-Norm gilt
|x|+|y|=1, d.h. du betrachtest f auf den Werten g-1(0) mit g(x,y)=|x|+|y|-1.

Bei der Maximumsnorm kannst du im Prinzip 4 Funktionen betrachten.
1) x=1; y aus [-1,1]
2) x=-1; y aus [-1,1]
3) x aus [-1,1]; y=1
4) x aus [-1,1]; y=-1
Es ergeben sich dann Funktionen in einer Variablen, womit eine normale Kurvendiskussion möglich ist.

MfG
Christian
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1166
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Veröffentlicht am Montag, den 12. Juli, 2004 - 14:07:   Beitrag drucken

Ok,

also ich nehme mir meine Abbildung f, jage sie durch die Matrix und erhlate bsp:
f(x,y) Nun definiere ich Funktion g aus meiner Nebenbedingung, die von der Norm abhängt.
Beispielsweise bei der 1-Norm: g(x,y)=|x|+|y|-1

Um nun Extrema zu bestimmen muss man differenzieren, das ist klar.

Dann bildest du die Gradienten von f und g...das ist ja noch halbwegs nachvollziebar, aber an der Stelle:

Damit ein Extremum vorliegen kann, müssen die Gleichungen
(x+y)=lx
(x+y)+y=ly
erfüllt sein.

beginnen meine Probleme...wieso ist das so?

und stelle dir vor mein Prof schreibt: hier haben sie eine Abbildungsmatrix (a,b,c,d) und die Unendlich NOrm, wie berechnen sie die Operatornorm, soll ich ihm dann den ganzen kram, "Extrema unter Nebenbedingung" hinschreiben? kann man das nicht wirklich allgemeiner lösen?

Gruß N.

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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1442
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Veröffentlicht am Montag, den 12. Juli, 2004 - 14:18:   Beitrag drucken

Hi Niels

Hier mal der komplette Satz mit den Lagrangemultiplikatoren:

Sei U Teilmenge von Rn offen, f:U-R eine C1-Funktion und g:U->Rk sei eine C1-Abbildung mit rg Jg(x)=k für x aus S={x aus U|g(x)=0}. Sei fS: S->R die Restriktion von f auf S. Hat fS für x0 aus S ein lokales Extremum, so existieren eindeutig bestimmte Zahlen l1,...,lk aus R mit
Ñf(x0)=l1Ñg1(x0)+...+lkÑgk(x0)

Daher kamen die Gleichungen
(x+y)=lx
(x+y)+y=ly
zustande.

soll ich ihm dann den ganzen kram, "Extrema unter Nebenbedingung" hinschreiben? kann man das nicht wirklich allgemeiner lösen?


Also ich wüsste nicht wie.

MfG
Christian

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