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Shan22 (Shan22)
Mitglied
Benutzername: Shan22
Nummer des Beitrags: 32
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juli, 2004 - 20:41: | 
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ich habe folgende aufgabe gelöst aber mein ergebnis stimmt nicht ganz überein......
man soll beweisen für alle z Element R mit sinus(z) ungleich 0 und alle n Elemtént von N gilt:
cos(z)+cos(3z)+...+cos((2n-1)z)
= sin(2nz)/(2sin(z))...
gruss |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 818
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 01:22: |
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zeigen wirs mal für n = 1
cos(z) = sin(2z) / (2sin(z)) = 2sin(z)cos(z)/(2sin(z)) = cos(z) <-- ok
für n: SUM [i=1;n] cos((2i-1)z) = sin(2nz)/(2sin(z))
für n+1: SUM [i=1;n+1] cos((2i-1)z) = sin(2(n+1)z)/(2sin(z))
jetzt der Schluß:
SUM [i=1;n+1] cos((2i-1)z) - SUM [i=1;n] cos((2i-1)z) = sin(2(n+1)z)/(2sin(z)) - sin(2nz)/(2sin(z))
cos((2n+1)z) = sin(2(n+1)z)/(2sin(z)) - sin(2nz)/(2sin(z)) | *2sin(z)
2sin(z)cos((2n+1)z) = sin((2n+2)z) - sin(2nz)
2sin(z)cos(2nz+z) = sin(2nz+2z) - sin(2nz)
2sin(z)(cos(2nz)cos(z) - sin(2nz)sin(z)) = sin(2nz)cos(2z) + sin(2z)cos(2nz) - sin(2nz)
2sin(z)cos(z)cos(2nz) - 2sin(z)sin(2nz)sin(z) = sin(2nz)cos(2z) + sin(2z)cos(2nz) - sin(2nz)
sin(2z)cos(2nz) - 2sin(z)sin(2nz)sin(z) = sin(2nz)cos(2z) + sin(2z)cos(2nz) - sin(2nz)
-2sin(z)sin(2nz)sin(z) = sin(2nz)cos(2z) - sin(2nz)
-2sin^2(z) sin(2nz) = sin(2nz)(cos(2z) - 1)
-2sin^2(z) sin(2nz) = sin(2nz)(cos^2(z) - sin^2(z) - 1)
-2sin^2(z) sin(2nz) = sin(2nz)(cos^2(z) - sin^2(z) - sin^2(z) - cos^2(z))
-2sin^2(z) sin(2nz) = sin(2nz)(- sin^2(z) - sin^2(z))
-2sin^2(z) sin(2nz) = sin(2nz)(-2sin^2(z))
-2sin^2(z) sin(2nz) = -2sin^2(z) sin(2nz)
das gilt immer, damit stimmt die Beziehung:
SUM [i=1,n] cos((2n-1)z) = sin(2nz)/(2sin(z))
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 819
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 01:36: |
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Nachtrag:
sin(z)=0 => z=0 v z=pi v z=2pi => sin(2nz)=0
daher LIM [sin(z)->0] sin(2nz)/(2sin(z)) =
LIM [|cos(z)|->1] 2ncos(2nz)/(2cos(z)) =
LIM [|cos(z)|->1] ncos(2nz)/(cos(z)) = +/- ncos(2nz)
Man werfe dabei einen Blick in eine Formelsammlung und finde eine Ähnlichkeit mit der Formel für
cos(n * phi) = cos^n(phi) - (n über 2) cos^(n-2) (phi) * sin^2(phi) + (n über 4) cos^(n-4) (phi) * sin^4(phi) -/+ ....
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 899
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 07:45: |
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Hallo,
Noch ein Vorschlag :
Für reelles z ist die gesuchte Summe gleich dem
Realteil von
Sn-1 k=0 exp[(2k+1)zi] =
ezi Sn-1 k=0 (e2zi)k =
ezi [1- e2nzi]/(1 - e2zi).
(Beitrag nachträglich am 10., Juli. 2004 von Orion editiert)
mfG Orion
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