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AWP mit Dgl 2-ten Grades

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Marcohof (Marcohof)
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Mitglied
Benutzername: Marcohof

Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juli, 2004 - 17:47:   Beitrag drucken

Hallo! Ich muss mich noch mal mit nem Dgl-Problem melden ;-(

Aufgabe: Man löse die Anfangswertprobleme:

y’’ + 2*y’ + y = x + e^(-x)
y(0) = 1 , y’(0) = y’’(0) = 0

als erstes löse ich doch die homogene DGL
y’’ + 2*y’ +y = 0
mit y = e^(Lx) (L für Landa)

==> Yh = e^(-x)*[c1 +c2*x] als Lösung der homogenen Dgl

(soweit richtig ???)

dann weiter zur inhomogenen Lösung:
s(x)=s1(x) + s2(x) = x + e^(-x)

==> Yp1= a*x +b
Yp2= c*x^2* e^(-x)
-------------------------
Yp = a*x +b + c*x^2* e^(-x)

Yp’= a + 2cx e^(-x) – c*x^2*e^(-x)

Yp’’= 2c e^(-x) –4c*x* e^(-x) + c*x^2* e^(-x)

In Dgl einsetzen ==> a=1 b=-2 c=1/2

Also ist Yp= x – 2 + 0.5*x^2 e^(-x)

Und mit Ya = Yh + Yp
= e^(-x)*[c1 +c2*x] + x – 2 + 0.5*x^2 e^(-x) als allgemeine Lösung der DGl

Jetzt hab ich die allgemeine Lösung der Dgl aber irgendwie nicht den blassesten Schimmer wie ich auf die AWP-Lösungen komme...
Kann mir da jemand helfen???

Gruß Marco
PS:Hoffe die Rechnung ist soweit richtig...sicher bin ich mir da aber auch nicht...
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1504
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juli, 2004 - 18:23:   Beitrag drucken

Hi Marco,

deine Lösung ist richtig! Jetzt musst du wohl oder übel y'(x) und y''(x) berechnen, und dort dann jeweils für x = 0 setzen, und dann mit y(0)=1 die Konstanten bestimmen!

Du erhälst drei Gleichungen mit zwei unbekannten [es würden schon zwei Angaben zur bestimmung reichen!], ich erhalte als Lösung:

c1 = 3 , c2 = 2

Bitte nachrechnen!

mfg
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Marcohof (Marcohof)
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Mitglied
Benutzername: Marcohof

Nummer des Beitrags: 38
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juli, 2004 - 18:34:   Beitrag drucken

Wow...so schnell hätte ich nie mit einer Antwort gerechnet...

Besten Dank TI198

Gibt es auch nen einfacheren Weg ein solches AWP zu lösen der muss ich immer den Weg über die allgemeine Lösung gehen?
Na dann hab ich ja noch einiges vor mir...

Gruß
Marco
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1505
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juli, 2004 - 19:19:   Beitrag drucken

Hi,

man tut ja was man kann!

Aber wenn du so fragst, kenne ich noch die Laplace Transformation! Diese funktioniert aber nur für lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten.

Aber ob sie einfacher ist, kann ich auch nicht sagen...

Auf Wunsch können wir es mal durchrechnen, wenn denn Kenntnisse über die Transformation vorhanden sind!

mfg

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