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Euklidische Norm

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Omega02 (Omega02)
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Junior Mitglied
Benutzername: Omega02

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 06-2004
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juli, 2004 - 13:14:   Beitrag drucken

Die Euklidische Norm ist mir verständlich. Doch jetzt sitze ich vor einer Aufgabe bei der, man die MAXIMUMNORM und SUMMENNORM berechnet werden muss.
1. Könnte jemand mir die Berechnungsart posten?
2. Was kann ich mir genau darunter vorstellen? Wozu werden die beiden Normen verwendet?

Aufgabe:

Es seien die Vektoren x = (1,-1,0,3) und y = (-5,2,1,0). Man berechne die Maxnorm x + y und die Summennorm x + y

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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1432
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juli, 2004 - 14:13:   Beitrag drucken

Hallo

1. Also die Euklidische Norm nennt man auch 2-Norm.

Nehmen wir mal einen Vektor x=(x1,...,xn) aus Rn.

Dann hat man als 2-Norm oder euklidische Norm(das ist ja die Norm, die aus der Schule bekannt ist).

||x||2=(x12+...+xn2)1/2

Allgemein erhält man die k-Norm durch
||x||k=[Sk n=1 |xn|k]1/k

Für k=1 ergibt sich die 1-Norm bzw. Summennorm.

Die Maximumsnorm ist der Fall k=¥. Es gilt
||x||¥=max{|x1|,...,|xn|}.


2. Am besten du zeichnest dir die drei Fälle mal folgendermaßen auf.

Wähle die Elemente x aus R2, für die
||x||1£1
||x||2£1
||x||¥£1
Soviel zur Vorstellung.

Verwendung finden die Normen z.B. bei der Grenzwertberechnung. Man kann zeigen, dass auf Rn alle Normen äquivalent sind. Wenn eine Folge bzgl. einer Norm gegen einen Grenzwert x konvergiert, so tut sie das auch bzgl. jeder anderen Norm.
Es ist klar, dass die Berechnung von Grenzwerten mit verschiedenen Normen unterschiedlich schwer sein kann.

Aufgabe:
||x+y||¥=max{|-4|,|1|,|1|,|3|}=4

||x+y||1=|-4|+|1|+|1|+|3|=9

MfG
Christian
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Omega02 (Omega02)
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Junior Mitglied
Benutzername: Omega02

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 06-2004
Veröffentlicht am Montag, den 12. Juli, 2004 - 12:57:   Beitrag drucken

Vielen, vielen Dank!!

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