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Shan22 (Shan22)
Mitglied
Benutzername: Shan22
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juli, 2004 - 20:41: | 
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Hi...
Habe wieder mal paar Fragen..
Habe folgende Reihe: S= Summenzeichen
S n=1 bis infin. (-1)^(n-1)/n
da kommt ja log2 heraus...ist das der Limes..und wenn ja, wie kommt man drauf...weil die folge konvergiert ja gg 0.
2)
S |a_n|< unendlich..
so ist ja die absolute konvegrgenz von reihen definiert...
heißt das jetzt, dass kein reihenglied negativ sein darf.....?
3.) wenn ich das majorantenkriterium anwenden will...gibt es da einen trick, wie ich eine passenden finde....ich höre immer, das kriterium ist praktisch....aber ich finde es schwer, eine passende majorante zu finden...? Irgendeinen Trcik muss es ja geben...
4.) last but not least..
-wenn ich den trick mit dem quotientenkriterium bei einer beliebigen reihe anwende.. also |a_n+1/a_n|>=1 heißt dann die reihe divergiert..?
-und für n/(n+1) heißt es ja das q=1 (0<=q<1)ist... wobei q ja nie 1 wird...also wäre meiner meinung nach q<1 und das kriterium wäre erfüllt...
bin schon sehr gespannt auf resonanz...
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1430
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 08. Juli, 2004 - 21:09: |
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Hallo
Zu 1) Dafür schaust du dir am besten mal die Taylorentwicklung des natürliche Logarithmus an.
Dass deine Folge gegen 0 konvergiert ist klar, denn das ist ein notwendiges Kriterium dafür, dass eine Reihe konvergiert.
Zu 2) Das heißt nicht, dass kein Reihenglied negativ sein muss, sondern dass du die Reihe der Beträge betrachtest. Am besten mal ein Beispiel:
Nehmen wir mal die Folge (an) definiert durch an=(-1)^n/n.
Die Reihe Soo i=1 an konvergiert nach dem Leibnizkriterium.
Die Reihe der Absolutglieder ist die harmonische Reihe:
Soo i=1 |an|=|-1/1|+|1/2|+|-1/3|+...
=1+1/2+1/3+....
Und die Reihe divergiert bekanntlich. Also ist die obige Reihe nicht absolut konvergent.
3) Hmm, einen wirklichen Trick kenne ich hier auch nicht. Übung macht den Meister
4) -wenn ich den trick mit dem quotientenkriterium bei einer beliebigen reihe anwende.. also |a_n+1/a_n|>=1 heißt dann die reihe divergiert..?
Ja.
-und für n/(n+1) heißt es ja das q=1 (0<=q<1)ist... wobei q ja nie 1 wird...also wäre meiner meinung nach q<1 und das kriterium wäre erfüllt...
Hier musst du aufpassen. Nehmen wir zum Beispiel mal die Reihe Soo i=1 1/n.
Dann gilt an+1/an=n/(n+1). Das ist kleiner als 1 für alle n. Das Quotientenkriterium fordert aber ein q<1, sodass an+1/an=n/(n+1)<q gilt. Und ein solches q existiert hier nicht, weil lim(n->oo)n/(n+1)=1. Also egal wie nah du q an 1 wählst, du kannst n so groß wählen, dass n/(n+1) näher dran ist.
MfG
Christian |
Shan22 (Shan22)
Mitglied
Benutzername: Shan22
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juli, 2004 - 00:53: |
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Ah oki, danke sehr..
Wann verwende ich eigentlich die Regel von L hopital? immer wenn die funktionen gg unendlich streben? |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1431
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 09. Juli, 2004 - 12:04: |
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Hallo
1. Fall von l'Hospital:
Es gelte lim(x->a) f(x) = ±¥ und lim(x->a) g(x) = ±¥,
wobei a eine reelle Zahl sein soll oder ±¥.
Dann gilt
lim(x->a) f(x)/g(x) = lim(x->a) f'(x)/g'(x)
Beispiel:
lim(x->¥) ex/xn
=lim(x->¥) ex/(n*xn-1)
=...=lim(x->¥) ex/(n!)
=¥.
Die Exponentialfunktion wächst also schneller als jede Polynomfunktion.
Fall 2)
Es gelte lim(x->a) f(x) = lim(x->a) g(x) = 0 wobei a wieder eine reelle Zahl sein soll oder ±¥.
Dann gilt
lim(x->a) f(x)/g(x) = lim(x->a) f'(x)/g'(x)
Beispiel:
lim(x->1) (x-1)n/ln(x)
=lim(x->1) n*(x-1)n-1/(1/x)
=lim(x->1) x*n*(x-1)n-1=0
MfG
Christian
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