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Shan22 (Shan22)
Mitglied
Benutzername: Shan22
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juli, 2004 - 16:20: | 
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Hallo,
habe einige Fragen zu Folgen.
1. Frage)
Angenommen ich habe folgende Folge:
(an)= n+2/(n^2-1) n>=2
muss ich da dringend durch die größere Potenz kürzen, hier
also n^2? Oder kann ich auch durch n kürzen, dann käme
folgendes raus:
(1+2/n)/(n-1/n)= 1/n = 0 also limes=O
oder ist es so richtig(wenn ja,warum):
(1/n+2/n^2)/(1-1/n^2)= 0/1 = 0 also limes=0
beides mal kommt ja 0 raus....
2.Frage)
ich habe die Folge: (an)= (n^2+2n-1)/n-3 n>=4
da steht in einem Skript, dass die divergent ist, weil
(an)>= n^2/n =n
woher weiß ich das und wie kommt man auf den gedankenschritt
oder wie sieht man das an der folge......ich hätte nämlich
wieder normal gekürzt und dann käme der Limes 0 bei mir
raus......
Okay, bin schon gespannt auf Antworten )
Merci..
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Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 929
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juli, 2004 - 16:56: |
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1) Kannst beides nehmen. Wichtig ist nur, daß Du am ende eine Form erhältst, aus der das Grenzverhalten ersichtlich ist.
2) Es gilt
(A) n²+2n-1 > n² (denn 2n-1>0)
(B) n-3 < n
=> (n²+2n-1)/(n-3) > n²/(n-3) > n²/n
Mit Kürzen hättest Du es aber auch herausbekommen:
(n²+2n-1)/(n-3) = (n+2-(1/n))/(1-(3/n)) -> ¥
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2319
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juli, 2004 - 17:04: |
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1)beides "legal"
2) da wurde durch n gekürzt
wenn
Du mit "normal" gekürzt gemeint hast durch n^2
dann ist der Grenzwert im Zähler 1, im Nenner 0,
also wieder "unendlich"
Eine "Polynomdivision" sollte in allen fällen
einleuchtende Resultate ergeben;
aber man kann sich einfach Merken wenn
Zählergrad > Nennergrad dann divergent
Zählergrad = Nennergrad dann Konvergent > 0
Zählergrad < Nennergrad dann Konvergent = 0
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Shan22 (Shan22)
Mitglied
Benutzername: Shan22
Nummer des Beitrags: 24
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juli, 2004 - 19:58: |
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zu 2)das kann man einfach so ausprobieren mit (A) und (B) Ingo? Oder gibt es das einen speziellen gedankenschritt?
und zum kürzen, richtig wenn ich durch n kürze dann geht das und es divergiert...wenn ich aber durch n^2 kürze..was ja auch geht, dann steht null im nenner..das geht ja nicht, also kann ich hier nicht durch n^2 kürzen- wieso? |
Shan22 (Shan22)
Mitglied
Benutzername: Shan22
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juli, 2004 - 20:01: |
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oki, verstehe........
aber wieso ist wenn ich zähler der limes 1 ist und im nenner 0, der limes unendlich...hmm?!
dieseer trick mit den "grads"...geht der immer?
lg |
Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2320
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juli, 2004 - 20:20: |
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wenn es Polynome sind ja.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 931
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Juli, 2004 - 01:49: |
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Hallo Shan,
die zweite Aufgabe würde man normalerweise mit Polynomdivision lösen, wie Friedrich ja auch schon geschrieben hat.
Dennoch gibt es kein wirkliches Patenrezept und man wäre hier mit den oben genannten Abschätzungen (A) und (B) auch weitergekommen, oder halt mit Kürzen durch n.
Wenn Du es mit Abschätzungen versuchen willst, dann probiert man normalerweise immer die einfachsten.
Zwei Beispiele:
(1) (n²+2n-5)/(n+1)
erste Abschätzung: n²+2n-5 > n² (für n>3)
zweite Abschätzung: n+1 < 2n
Insgesamt also (n²+2n-5)/(n+1) > n²/2n = n/2 -> ¥
(2) (n²+2n-1)/(n³-2n)
n²+2n-1 > n²
n³-2n < n³
=> (n²+2n-1)/(n³-2n) > n²/n³ = 1/n -> 0
Aber: alles was wir nun wissen ist die Tatsache, daß unsere Folge gegen einen positiven Wert konvergiert, wenn sie überhaupt konvergiert. Wir hätten mit dieser Abschätzung also nicht viel gewonnen. Deshalb probieren wir(zusätzlich) eine Abschätzung nach oben.
n²+2n-1 < 2n² (Da 2n-1<n² für n>1)
n³-2n > n³-n² (für n>1)
Also (n²+2n-1)/(n³-2n) < 2n²/(n³-n²) = 2/(n-1) -> 0
Beide Abschätzungen zusammen ergeben die Konvergenz gegen 0.
Eindeutig schneller wäre es da mit Kürzen von n² gewesen.
(n²+2n-1)/(n³-2n) = (1+(2/n)-(1/n²))/(n-(2/n)) -> 0
Zur Frage nach dem 1/0 : Überleg Dir einfach mal, was passiert, wenn Du eine endliche Zahl hast (hier die 1) und die durch etwas sehr kleines teilst. k/(1/n) = k*n -> ¥ egal wie klein k gewählt wird.
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