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Arzoo (Arzoo)
Mitglied Benutzername: Arzoo
Nummer des Beitrags: 21 Registriert: 11-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 05. Juli, 2004 - 18:01: |
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Wie kann man zeigen , dass die Umkehrfunktion einer stetigen, monoton wachsenden Funktion wiederum stetig und monoton wachsend ist? |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 897 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 06. Juli, 2004 - 16:53: |
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Arzoo, Seien I und J reelle Intervalle und f : I ® J stetig und monoton wachsend, g := f-1 sei die Umkehrfunktion von f. a) g ist monoton wachsend. Sei y1 < y2, yi = f(xi) , i=1,2. Annahme: g(y1) >= g(y2). Wende hierauf f an. Wegen der Monotonie von f folgt y1 >= y2 : Widerspruch ! Schwieriger ist b) g ist stetig. Sei h = f(x) € J , (yn) eine Folge in J mit yn = f(xn) und lim yn = h. Zu zeigen : lim g(yn) = g(h) , d.h.: lim xn = x. Sei nun e > 0 gegeben. Setze f(x-e) =: a, f(x+e) =: b Wegen der Monotonie von f gilt a < h < b sowie wegen lim yn = h a < yn < b für fast alle n. Wenden wir hierauf g an (beachte Teil a)), so folgt x - e < xn < x + e für fast alle n, d.h.: lim xn = x, Q.E.D. mfG Orion
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