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Supremum und Infimum

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Cjaeger (Cjaeger)
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Junior Mitglied
Benutzername: Cjaeger

Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juli, 2004 - 13:43:   Beitrag drucken

hi, hab hier 2 Beweise zu führen, der auch irgendwie logisch ist, aber ich finde keinen Ansatz...

Sei T:={x+y|x€A, y€B, A,B c R}

Beweisen Sie:
a) infT = infA+infB
b) supT = supA+supB

könnt ihr mir nen Ansatz oder den Beweis verraten? Also ist jedes Minimum gleichzeitig auch das Infimum und das Maximum gleichzeitig Supremum?

Gruß
Chris
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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1138
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juli, 2004 - 14:16:   Beitrag drucken

Hi Chris,

die Aussagen sind in der Tat wahr, und der Beweis ist recht einfach:

Was bedeutet den Inf und Sup?

infimum einer Menge:= größte unter Schranke einer Menge

Supremum einer Menge := kleinste obere Schranke

Damit ist ja schon alles gesagt was zu zeigen ist...

das SupA+ SupB beispielsweise eine obere Schranke von x+y ist klar, den es gilt ja

x=<Sup A
y=<Sup B
x+y=<Sup A+Sup B

(Monotonie der Addition)

Analoges gilt fürs Infimum, nun müsste man nur noch zeigen das die ober/untere Schranke jeweils die kleinste/größte ist....Das geht das über die "Epsiloncharakteristik" von Infima und Suprema...
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Cjaeger (Cjaeger)
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Junior Mitglied
Benutzername: Cjaeger

Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juli, 2004 - 15:04:   Beitrag drucken

also wie nach dem Satz von Archimedes...für jedes €>0 existiert ein n eN: 1/n < €

€=Epsilon

aber irgendwie krieg ich das nicht auf die Situation hier übertragen....

aber danke schonmal für deine Antwort!
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1427
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juli, 2004 - 16:36:   Beitrag drucken

Hallo

Es existieren x€A, y€B mit
|sup(A)-x|<e/2
|sup(B)-y|<e/2

Damit folgt
|(sup(A)+sup(B))-(x+y)|£|sup(A)-x|+|sup(B)-y|<e
Also ist sup(T)=sup(A)+sup(B)

MfG
Christian


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Cjaeger (Cjaeger)
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Junior Mitglied
Benutzername: Cjaeger

Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 05-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Juli, 2004 - 16:54:   Beitrag drucken

hey, super....vielen vielen dank....jeztz hab ich es verstanden....

danke!

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