Autor |
Beitrag |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 937 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 18:47: |
|
Hallo, mir ist diese Frage echt peinlich, aber wie beweise ich folgende Aussage für alle n Element N per Induktion? 3n>n² der Induktionsanfang für n=1 ist ja trivial, aber mir gelingt es nicht das Ding im Induktionsschritt richtig Abzuschätzen.... ich würde mich über eine Antwort freuen... mfg Niels
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 776 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 19:29: |
|
Niels, Die Beh. 3n > n3 gilt für n=1,2 und für alle n>3. Sie stimmt für n=4 und sei für irgendein n >= 4 schon gesichert. Für dieses n gilt dann nach Ind.-Ann.: 3n+1 = 3*3n > 3 n3. Zu zeigen : 3 n3 >=(n+1)3 für alle n >=4. Für n>= 4 ist aber 1/n £ 1/4 => (1+1/n)3 £ (5/4)3 < 3 => (n+1)3 < 3 n3. mfG Orion
|
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 938 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 20:09: |
|
Hi Orion, ich wollte aber eigentlich 3n>n² haben, nicht 3n>n³ ich nehme aber an das der fall mit n² analog zu deinem obigen beweis funktioniert.... oder sehe ich das falsch? vielen dank für deine Hilfe... |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 777 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 07:51: |
|
Niels, leider habe ich wohl falsch gelesen (ich habe nur einen 12" Monitor und sehe nicht besonders gut). Das macht aber nichts, denn es ist ohnehin n3 >= n2. Ausserdem ist 3n2 >= (n+1)2 <=> (2n-1)2 >= 1 für n >= 1 offensichtlich erfüllt. mfG Orion
|
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 939 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 10:00: |
|
Hallo Orion, wie kommst du auf die Abschätzung? das 3n²>(n+1)^2 ist in der Tat zu zeigen, mein Problem ist jetzt, wie es weiter geht.... 3n²>(n+1)²<=>3n²>n²+2n+1<=>2n²>2n+1 so und nun? wenn sowas in der Analysis I Abschlußklausur drankommt kann ich jetzt nicht hinschreiben "der Rest ist trivial".... zumal ja die Abschätzung 2n^²>2n+1 für n=1 falsch ist...(2>3 ist ja falsch...) vielleicht könntest du deine Lösung noch etwas ausführlicher erläutern.... vielen Dank für deine Bemühungen Orion: ps: Besonders gut sehe ich auch nicht:-) ich bin nämlich Blind....
|
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 493 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 16:48: |
|
Hi Niels! Kannst du die quadratische Ungleichung nicht einfach ganz normal auflösen? 2n² > 2n + 1 2n² - 2n > 1 n² - n > 1/2 Quadratische Ergänzung: n² - n + 1/4 > 3/4 (n - 1/2)² > 3/4 n - 1/2 > 1/2 * Ö3 oder n - 1/2 < -1/2 * Ö3 n > 1/2 + 1/2 * Ö3 oder n < -1/2+1/2*Ö3 Die 2. Bedingung ist wegen n aus N uninteressant. Die erste Bedingung sagt dagegen aus, dass die Ungleichung für alle n > 1 erfüllt ist. Oder habe ich etwas übersehen? Mit freundlichen Grüßen Jair
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 778 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 16:51: |
|
Niels, Also : Beh.: Für alle n e N gilt 3n > n2. Bew.: Induktion bzgl. n Ind.-Anf.: Beh. ist wahr für n=1 : 31 > 12, und n=2 : 32 > 22. Ind.-Ann.: Für irgendein n >= 2 gelte 3n > n2 Ind.-Beh.: Für dieses n ist 3n+1 > (n+1)2 Ind.-Schluss: 3n+1 = 3*3n (Potenzregel) > 3 n2 (Ind.-Ann.) Bleibt zu zeigen, dass für n >= 2 : (*) 3 n2 >= (n+1)2. (*) ist äquivalent mit 2 n2 - 2n >= 1 <=>4 n2-4 n >= 2 <=> (2n-1)2 >= 3 (quadratische Ergänzung) Letztere Ungl. gilt evidentermassen für jedes n >= 2.
mfG Orion
|
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 941 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 19:10: |
|
Hi Leute, mein gott ist mir das peinlich!!!! natürlich klar, ist logisch, aber irgendwie habe ich den Wald mal wieder vor lauter Bäumen nicht gesehen.... vielen vielen Dank Orion und Jair! Ihr seit echt Spitze! mfg Niels
|
Hansibal (Hansibal)
Mitglied Benutzername: Hansibal
Nummer des Beitrags: 44 Registriert: 11-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 09:41: |
|
Das geht noch viel einfacher, indem man zeigt, dass die erst Ableiung von der einen Site größer wird als die andere. 2mal abgeleitet, komme ich auf 3^n*ln(3)^2>2 und das gilt ab n=2, findet mn jetzt noch ein wert wos stimmt, ist alles erledigt. mfg hansibl |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 800 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 10:04: |
|
Hi, was ist davon zu halten? I: 3^n > n^2 <-- Ind. VS. II: 3^(n+1) > (n+1)^2 <-- Ind. Ann. II/I: 3 >= (n+1)^2/n^2 <-- Ind. Schluß 3 >= ((n+1)/n)^2 3 >= (1+1/n)^2 und das gilt offensichtlich Gruß, Walter Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
|
Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Senior Mitglied Benutzername: Jair_ohmsford
Nummer des Beitrags: 723 Registriert: 10-2003
| Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 17:35: |
|
quote:3 >= (1+1/n)2 und das gilt offensichtlich
... für n > 1, um ganz sauber zu bleiben Viele Grüße Jair |