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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4125 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 21:27: |
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Hi allerseits Hier die angekuendigte Aufgabe LF 403. Sie lautet mit F(n) als Fibonaccizahl und fuer n = 0 ad infinitum: Beweise: sum [ F(n+1) * x^n ] = 1 / ( 1 - x - x^2 ). Welches ist der Konvergenzbereich fuer x ? MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1404 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 22:04: |
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Hi megamath, ich schreibe: sum[ F(n+1)*x^n ][n=0..infinity] = 1 + sum[ F(n+1)*x^n ] [n=1..infinity] Jetzt nutze ich: F(n+1) = F(n) + F(n-1) 1 + sum[ (F(n) + F(n-1))*x^n ] [n=1.infinity] Spalte ich nun auf und mache eine Indexverschiebung in den beiden neuen Reihen, so dass sie von n=0 beginne: 1 + x*sum[ F(n+1)*x^n ] + x^2*sum[ F(n+1)*x^n ] [n=0..infinity] Bringe ich die Summen nun auf die andere Seite und klammer sie Summe alleine aus erhalte ich (1-x-x^2)*sum[ F(n+1)*x^n ] [n=0..infinity] = 1 sum[ F(n+1)*x^n ] [n=0..infinity] = 1/(1-x-x^2) q.e.d. Der Konvergenzradius müsste sich begeben zu: |x| = ( sqrt(5) - 1 )/2 (Nullstelle des Nenners!) Ein bekannter Term aus der Theorie des Goldenen Schnittes! mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1405 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 22:39: |
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Hi, eine kleine Nachlässigkeit hat sich eingeschlichen: Konvergenzradius: |x| < (sqrt(5) - 1)/2 So müssts passen... mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4132 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juni, 2004 - 21:31: |
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Hi Ferdi Die Herleitung ist ok! Auch der Konveregenzbereich ist richtig. Bravo und Dank! MfG H.R.Moser,megaamth |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 392 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 12. Juni, 2004 - 08:33: |
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Hi Megamath, Ich habe auch noch einen Vorschlag zur Berechnung des Konvergenzradiuses... Die Definition der Fibonacci-Zahlen stützt sich auf die Kettenbruchentwicklung Fn+1/Fn=[1,1,1,...,1,1,1]. (n Einsen!) Es ist (1+sqrt(5))/2=[1,1(Periode)] und damit limn->¥ Fn+1/Fn=[1,1(Periode)]=(1+sqrt(5))/2. Bei der Ermittlung des Kettenbruchs a=[a0,a1,a2,...] geht man so vor: Sei a=(sqrt(5)+1)/2, dann ist a0=[a]=1. (Wobei [] hier die Ganzteilfunktion ist!) Weiterhin ist a1=1/(a-a0) => a1=[a1], a2=1/(a1-a1) => a2=[a2], ... Es ergibt sich a=a1=a2=...=(sqrt(5)+1)/2 und a0=a1=a2=...=1. Die Reihe f(x)=S¥ n=0 Fn+1*xn konvergiert also für |x| < 2/(1+sqrt(5)) oder |x| < (sqrt(5) - 1)/2, was dasselbe ist. Gruß,Olaf Habe Mut,dich deines eigenen Verstandes zu bedienen! Kant,Immanuel
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4158 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 14. Juni, 2004 - 10:51: |
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Hi Olaf Du hast einen ganz interessanten Aspekt ins Spiel gebracht. Besten Dank ! Ich habe Deine Herleitung mit Interesse gelesen und sogar nachvollziehen koennen(!). MfG H.R.Moser,megamath
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