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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4125
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 21:27: | 
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Hi allerseits
Hier die angekuendigte Aufgabe LF 403.
Sie lautet mit F(n) als Fibonaccizahl und fuer
n = 0 ad infinitum:
Beweise:
sum [ F(n+1) * x^n ] = 1 / ( 1 - x - x^2 ).
Welches ist der Konvergenzbereich fuer x ?
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1404
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 22:04: |
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Hi megamath,
ich schreibe:
sum[ F(n+1)*x^n ][n=0..infinity] = 1 + sum[ F(n+1)*x^n ] [n=1..infinity]
Jetzt nutze ich:
F(n+1) = F(n) + F(n-1)
1 + sum[ (F(n) + F(n-1))*x^n ] [n=1.infinity]
Spalte ich nun auf und mache eine Indexverschiebung in den beiden neuen Reihen, so dass sie von n=0 beginne:
1 + x*sum[ F(n+1)*x^n ] + x^2*sum[ F(n+1)*x^n ] [n=0..infinity]
Bringe ich die Summen nun auf die andere Seite und klammer sie Summe alleine aus erhalte ich
(1-x-x^2)*sum[ F(n+1)*x^n ] [n=0..infinity] = 1
sum[ F(n+1)*x^n ] [n=0..infinity] = 1/(1-x-x^2)
q.e.d.
Der Konvergenzradius müsste sich begeben zu:
|x| = ( sqrt(5) - 1 )/2
(Nullstelle des Nenners!)
Ein bekannter Term aus der Theorie des Goldenen Schnittes!
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1405
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 22:39: |
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Hi,
eine kleine Nachlässigkeit hat sich eingeschlichen:
Konvergenzradius:
|x| < (sqrt(5) - 1)/2
So müssts passen...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4132
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 09. Juni, 2004 - 21:31: |
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Hi Ferdi
Die Herleitung ist ok!
Auch der Konveregenzbereich ist richtig.
Bravo und Dank!
MfG
H.R.Moser,megaamth |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 392
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 12. Juni, 2004 - 08:33: |
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Hi Megamath,
Ich habe auch noch einen Vorschlag zur Berechnung des Konvergenzradiuses...
Die Definition der Fibonacci-Zahlen stützt sich auf die Kettenbruchentwicklung
Fn+1/Fn=[1,1,1,...,1,1,1].
(n Einsen!)
Es ist
(1+sqrt(5))/2=[1,1(Periode)]
und damit
limn->¥ Fn+1/Fn=[1,1(Periode)]=(1+sqrt(5))/2.
Bei der Ermittlung des Kettenbruchs a=[a0,a1,a2,...] geht man so vor:
Sei
a=(sqrt(5)+1)/2,
dann ist
a0=[a]=1.
(Wobei [] hier die Ganzteilfunktion ist!)
Weiterhin ist
a1=1/(a-a0) => a1=[a1],
a2=1/(a1-a1) => a2=[a2],
...
Es ergibt sich
a=a1=a2=...=(sqrt(5)+1)/2
und
a0=a1=a2=...=1.
Die Reihe
f(x)=S¥ n=0 Fn+1*xn
konvergiert also für
|x| < 2/(1+sqrt(5))
oder
|x| < (sqrt(5) - 1)/2,
was dasselbe ist.
Gruß,Olaf
Habe Mut,dich deines eigenen Verstandes zu bedienen!
Kant,Immanuel
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4158
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Juni, 2004 - 10:51: |
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Hi Olaf
Du hast einen ganz interessanten Aspekt
ins Spiel gebracht. Besten Dank !
Ich habe Deine Herleitung mit
Interesse gelesen und sogar nachvollziehen koennen(!).
MfG
H.R.Moser,megamath
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