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Lockere Folge 402 : Folgen 28

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4123
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 19:39:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 402
Sie lautet:
Man berechne die Summe der unendlichen Reihe

M: = sum [F(n) / 2^n], n laeuft von n = 0 ad infinitum
F(n) ist - wie bisher - die allgemeine Fibonaccizahl
aus der Folge
F(0) = 0, F(1) = 1, F(2) = 1 , F(3) = 2, F(4) = 3, F(5) = 5 ……

MfG
H.R.Moser,megamath
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1422
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 20:39:   Beitrag drucken

Hallo Megamath

Ich würde hier die Formel von Binet anwenden, d.h.
F(n)=1/sqrt(5)*[((1+sqrt(5))/2)n-((1-sqrt(5))/2)n]

Damit haben wir dann
F(n)/2n=1/sqrt(5)*[((1+sqrt(5))/4)n-((1-sqrt(5))/4)n]

Um den Wert unserer Reihe zu berechnen müssen wir dann nur noch die beiden geometrischen Reihen
S¥ n=0 1/sqrt(5)*[((1+sqrt(5))/4)n]
und
S¥ n=0 1/sqrt(5)*[((1-sqrt(5))/4)n]
auswerten.
Der Wert von M ergibt sich dann als Differenz zu
M=2 ;

MfG
Christian
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 390
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 20:45:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Mein Versuch:

Es ist

Fn=1/sqrt(5)*(an-bn)

mit

a=(1+sqrt(5))/2 und b=(1-sqrt(5))/2.

Daraus folgt nach etwas Umformung

Fn/2n=1/sqrt(5)*(a/2)n-1/sqrt(5)*(b/2)n.

Es läßt sich nun die Summe mit Hilfe der geometrischen Reihe berechnen,gleich in
doppelter Ausführung:

S¥ n=0 Fn/2n=1/sqrt(5)*S¥ n=0 (a/2)n-1/sqrt(5)*Sinf n=0 (b/2)n

=1/sqrt(5)*[1/(1-a/2)-1/(1-b/2)]

=2


Gruß,Olaf
Habe Mut,dich deines eigenen Verstandes zu bedienen!
Kant,Immanuel
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1423
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 20:55:   Beitrag drucken

Hi Olaf

Da hatten wir wohl die gleiche Idee :-)

Übrigens kann man mit der gleichen Methode sogar die noch etwas allgemeinere Reihe
M(k):=S¥ n=0 F(n)/kn berechnen für k>(1+sqrt(5))/2, k reell.

Es ergibt sich
M(k)=4k/[(2k-1)2-5] , womit man natürlich wieder
M(2)=2 erhält.

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4124
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 20:58:   Beitrag drucken

Hi Olaf, Hi Christian



Eure Loesungen sind ausgezeichnet!
Besten Dank!

Es war an der Zeit,dass Binet zum Zug kam.

Nur ein kleiner Schritt fuehrt uns auf die Erzeugende; dies kommt in Aufgabe LF 403.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 391
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 08. Juni, 2004 - 21:02:   Beitrag drucken

Hi Christian,

Danke für den Hinweis!


Gruß,Olaf
Habe Mut,dich deines eigenen Verstandes zu bedienen!
Kant,Immanuel

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