| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4113
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 17:51: | 
|
Hi allerseits
Lockere Folge LF 399.
Mit F(0) = 0, F(1) = 1. F(2) = 1, F(3) = 2, F (4) = 3, F(5) = 5,..
sollen die allbekannten Fibonaccizahlen bezeichnet werden.
Man ermittle die Summen der folgenden unendlichen Reihen
mit ihnen:
a)
U := sum [1/ [F(n)*F(n+2)] , n = 1 ad infinitum
b)
V := sum [F(n) / [F(n-1)*F(n+1)] , n = 2 ad infinitum
MfG
H.R.Moser,megamath
|
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1418
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 18:40: |
|
Hallo megamath
Zu a):
Es gilt
1/(F(n)*F(n+2))=1/(F(n)*(F(n+1)+F(n))
Partialbruchzerlegung ergibt:
1/(F(n)*(F(n+1)+F(n))=1/(F(n)*F(n+1))-1/(F(n+1)*(F(n)+F(n+1))
=1/(F(n)*F(n+1))-1/(F(n+1)*F(n+2))
Bilden wir nun die unendliche Reihe, so ergibt sich durch den Teleskopeffekt die Summe
U=1/(F(1)*F(2))=1/2
MfG
Christian
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 883
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 18:49: |
|
Megamath,
a) 1/F(n) - 1/F(n+2) = [F(n+2)-F(n)]/F(n)F(n+2)
= F(n+1)/F(n)F(n+2) =>
1/F(n)F(n+2) =
1/F(n)F(n+1) - 1/F(n+1)F(n+2).
Die N-te Partialsumme U(N) hat also den Wert
(Teleskopeffekt !)
U(N) = 1/F(1)F(2) - 1/F(N+1)F(N+2) =>
U = 1 .
b) Derselbe Trick funktioniert auch hier :
F(n)/F(n-1)F(n+1) = 1/F(n-1)-1/F(n+1)
=[1/F(n-1)-1/F(n)] + [1/F(n)-1/F(n-1)] =>
V(N) = 1/F(1)-1/F(N) + 1/F(2)-1/F(N+1) =>
V = 2.
mfG Orion
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4115
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 20:53: |
|
Hi Christian
Deine Methode zur Loesung ist richtig!
Es sind gute Beispiele zum Teleskopeffekt.
Achtung: Das Resultat ist U = 1
MfG
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4116
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 07. Juni, 2004 - 20:58: |
|
Hi Orion
Die Herleitungen und Resultate sind richtig!
Besten Dank für Deinen Beitrag.
MfG
H.R.Moser,megamath
|
