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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4094
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juni, 2004 - 21:20: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 394, eine hübsche Aufgabe im R3 als Repetitionsaufgabe
Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden
g: r=(2,1,5) + t(1,0,3) und h:r=(3,4,2) + s(-1,4,1)
Man loese die beiden Teilaufgaben a) und b):
a)
g ist die Achse eines Rotationszylinders Z1 mit dem Radius
R = 9 /sqrt (11).
Man zeige, dass h Z1 berührt und ermittle die Koordinaten
des Berührungspunktes V
b)
h ist die Achse eines Rotationszylinders Z2 mit dem Radius
R = 9 /sqrt (11).
Man zeige, dass g Z2 berührt und ermittle die Koordinaten
des Berührungspunktes U.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1388
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 2004 - 02:16: |
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Hi megamath,
vielleicht ein Schuss ins blaue, aber wenn die Geraden windschief sind, wie angegeben, und sie den Abstand 9/sqrt(11) haben, ist die Aufgabe schon gelöst!
Ist nämlich V ein Punkt auf h, so muss er ja gerade 9/sqrt(11) von der Achse von Z1 [ g!!] entfernt sein, so dass h diesen Rotationzylinder berührt, ebenso bei b)!
Ich werde dies morgen[ heute!! ] mit einer Rechnung versuchen zu beweisen!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4095
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 2004 - 08:34: |
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Hi Ferdi
Aus der Aufgabenstellung ist ersichtlich, dass die Gleichungen der Zylinderflaechen ins
Spiel kommen sollten.
Vom kuerzesten Abstand der Geraden ist nicht die Rede.
Jedenfalls sollten die Koordinaten der Beruehrungspunkte berechnet werden.
Damit waere die Aufgabe von Musikus (siehe oben nach!)
auf eine weitere Art geloest.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4096
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 2004 - 09:13: |
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Hi allerseits
Als ein Stuetzpunkt zur Loesung der Aufgabe soll die Gleichung von Z1 dienen:
Z1: 9 x ^ 2 + 10 y^2 + z^2 - 6 x z - 6 x - 20 y + 2z - 689 / 11 = 0.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4098
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 2004 - 12:28: |
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Hi allerseits
Ein weiterer Kotrollpunkt:
Gleichung von Z2:
17 x^2 +2 y^2+17 z^2 + 8xy +2xz - 8yz -138 x -24 y -42 z
+1809 / 11 = 0
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1389
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 2004 - 17:14: |
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Hi megamath,
ich dachte der frühe Vogel fängt den Fisch! Tja, falsch gedacht!
Jedenfalls kann ich deine Gleichungen nur bestätigen, ich kann das Ergebniss, später heute Abend für Z1 mal ausführlich herleiten! Dabei komt das gute alte Kreuz- oder Vektorprodukt zum Zuge!!
Dann werde ich auch den Rest der Aufgabe posten, jetzt muss ich aber erstmal wieder weg!
mfg |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 387
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 2004 - 17:24: |
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Hi Megamath,
Die Punkte des Zylinders ist die Menge der Punkte mit Abstand R=9/sqrt(11) von g.
Ich definiere g wie folgt:
g: r=a+t*b,
mit r,a,b e R^3 und t e R.
Außerem ist der Ortsvektor des variablen Punktes gegeben mit q=(x,y,z).
Es läßt sich die aus der Schulmathematik bekannte Formel zur Abstandsberechnung Punkt/Gerade
verwenden:
R=|b x (q-a)|/|b|
Es ist
q-a=(x-2,y-1,z-5)
und
b/|b|=(1/sqrt(2),0,1/sqrt(2)).
Wir bilden das Vektorprodukt dieser beiden Resultate und erhalten
b/|b| x (q-a)=1/sqrt(2)*(3-3y,3x-z-1,y-1).
Das Quadrat des Betrages ist
R^2=[(3-3y)/sqrt(10)]^2+[(3x-z-1)/sqrt(10)]^2+[(y-1)/sqrt(10)]^2,
mit R=9/sqrt(11) erhält man nach etwas Fleißarbeit
9 x ^ 2 + 10 y^2 + z^2 - 6 x z - 6 x - 20 y + 2z - 689 / 11 = 0.
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Genauso bei Aufgabenteil b)!
Gruß,Olaf
Habe Mut,dich deines eigenen Verstandes zu bedienen!
Kant,Immanuel
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 388
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 2004 - 17:41: |
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Hi Megamath,
Für h gilt
x=3-s
y=4+4s
z=2+s.
Eingesetzt in Z1:
9*(3-s)^2+10*(4+4*s)^2+(2+s)^2-6*(3-s)*(2+s)-6*(3-s)-20*(4+4*s)+2*(2+s)-689/11=0,
als EINZIGE Lösung (Berührpunkt!) erhält man
s=-6/11,
damit ist der Berührpunkt
Q(39/11|20/11|16/11).
Ich hoffe,da hat sich jetzt kein Rechenfehler eingeschlichen!
Gruß,Olaf
Habe Mut,dich deines eigenen Verstandes zu bedienen!
Kant,Immanuel
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1390
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 2004 - 17:48: |
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Hi Olaf!
Genauso hab ich es auch gemacht! Besten Dank das du mir die Arbeit abgenommen hast!
mfg |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 389
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 2004 - 17:54: |
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Hi Ferdi,
Gern geschehen!
Noch kurz die Koordinaten des anderen Berührpunktes und was fürs Auge (Z1)).
T(12/11,1,25/11)
Gruß,Olaf
Habe Mut,dich deines eigenen Verstandes zu bedienen!
Kant,Immanuel
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4099
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 2004 - 18:28: |
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Hi Ferdi , Hi Olaf
Das nennt man ganze Arbeit! Besten Dank!
Die Belohnung besteht darin,dass alles stimmt!
Ich komme auf die Aufgabe, genauer auf das
Problem der Ermittlung einer Minimaltransversalen windschiefer Geraden
in einer neuen LF-Aufgabe zurueck.
MfG
H.R.Moser,megamath
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