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-Lockere Folge 395 : Rotationszylinder

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4097
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 2004 - 09:45:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 395, eine weitere Repetitionsaufgabe aus der
Welt der Flaechen zweiter Ordnung.

Die Gleichung
5 x^2+8 y^2+5z^2 + 4 x y + 8 x z - 4 y z - 5 x - 2 y - 4 z + 1/4 = 0
stellt einen Rotationszylinder dar.
Gesucht wird der Radius R des Zylinders.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1391
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 04. Juni, 2004 - 22:25:   Beitrag drucken

Heureka!

Ich habs gefunden! Und die Achse gleich dazu!!

Der Radius des Zylinders ist:

R = 1/3

Die Achse ist:
x = (1/2) + t ; y = -(1/2)t ; z = -t

Den Radius habe ich als kleine Halbachse der Schnittellipse von der Ebene z = 0 und dem Zylinder berechnet, für die Achse benötigte ich noch die Schnittellipse mit der Ebene z = 1!

Auf Wunsch kann ich morgen auch ein wenig Rechnung präsentieren!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4103
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 2004 - 08:45:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Ich habe nicht angenommen, dass jemand DIESE Methode findet,
und ich hoffte insgeheim, man loese die Aufgabe mit dem ganzen
Apparat der Hauptachsentransformation im R3.

Dein Angebot nehme ich gerne entgegen:
Ich finde, man sollte die elegante Methode hier Schritt für Schritt
vorfuehren, damit moeglichst viele Teilnehmer davon profitieren.
Als Vergleich sollte auch die Hauptachsentransformation in extenso
angefuegt werden.
Alles zur rechten Zeit!

MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1394
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 2004 - 11:06:   Beitrag drucken

Hi megamath,

kein Problem! Hier mein Lösung mit Hauptachsentransformation!

Zunächst verschieben wir den Zylinder so, dass die Achse durch O geht, hierduch entfallen die linearen Gleider in x,y,z!

Hierzu berechnen wir eine mögliche Lösung von Grad[F(x,y,z)] = 0:

10x + 4y + 8z = 5
4x + 16y - 4z = 2
8x - 4y + 10z = 4

Man sieht eine einfach Lösung ist: M((1/2)/0/0)! Führen wir neue Koordinaten ein:

x-1/2 = u , y = v , z = w

Die quadratische Form wird zu:

5u^2 + 8v^2 + 5w^2 + 4uv + 8uw - 4vw - 1 = 0

Untersuchen wir nun die Matrix der Quadratischen Form, sie hat die charakteristische Gleichung:

L*( (L - 9)^2 ) = 0

Also die Eigenwerte:
L1 = 0 , L2 = L3 = 9

Die Doppellösung war zu erwarten, es ist eine Rotationsfläche!

Der Eigenvektor zum Eigenwert L=0 ist von der Form t*(2,-1,-2) [t € R], zusammen mit der Verschiebung haben wir damit auch die Achse:

x = ((1/2) , 0 , 0) + t*(2,-1,-2)

Die quadratische Form wird nun, nach Drehung zu:

X^2 + Y^2 = 1/9

Der Radius ist 1/3! JUHU!

Die andere Variante kommt dann später!

mfg
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1395
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 05. Juni, 2004 - 13:23:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

hier nun die zweite Variante!

Wir hatten füher in der LF Serie mal den Satz: Jeder ebene Schnitt eines Rotationzylinders ist eine Ellipse, es sei denn die Ebene ist parallel zu den Mantellnien. Im ersten Fall fällt dann die kleine Halbachse mit dem Radius des Zylinders zusammen, und die Zylinderachse durchstößt die Ellipse in deren Mittelpunkt!

Schneiden wir also den Zylinder mit der Ebene z=0 und einer zur ihr parallelen, z.B. z=1!

z = 0

5x^2 + 8y^2 + 4xy - 5x - 2y + 1/4 = 0

Bestimmen wir den Mittelpunkt mit der Methode Grad[F(x,y)] = 0, wir erhalten:
x = 1/2 , y = 0
Führen wir neue Koordinaten ein:
x-(1/2) = u , y = v

Nach kurzer Rechnung:
5u^2 + 8v^2 + 4uv - 1 = 0

Die Matrix quadratischen Form hat die charak. Gleichung: L^2 - 13L + 36 = 0 , also:
L1 = 9 , L2 = 4

Drehen wir nun das Koordinatensystem in neue Koordonaten X,Y:

9X^2 + 4Y^2 = 1

Halbachsen: (1/3) und (1/2) , Mittelpunkt((1/2),0,0)

Wir sehen die kleine Halbachse (1/3) = R!

Nun noch um die Achse zu bestimmen: z = 1:

5x^2 + 8y^2 + 4xy + 3x - 6y + 5/4 = 0

Grad[F(x,y)]=0 liefert x = -(1/2) , y = (1/2)

Den Rest benötigen wir hier nicht:

Die Mittelpunkt der Ellipsen waren also:
M1 = ((1/2), 0 , 0) ; M2 = (-(1/2) , (1/2) , 1)

Die Achse geht durch M1 und M2 daher:

x = ((1/2) , 0 , 0) + t*( 1 , -(1/2) , -1)
oder
x = ((1/2) , 0 , 0) + t*( 2 , -1 , -2)

Alles wie gehabt, man kan jetzt selber wählen welche Methode die einfachere oder schönere ist...

mfg

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