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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4091
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juni, 2004 - 13:08: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 393, eine Repetition.
Gegeben ist die Quadrik
x^2 + y^2 + 6 z^2 - 10 x y + 2 sqrt(2) (x - y) z = 1
a)
Die Flaeche schneidet die (x,y) - Ebene in einer Hyperbel c.
Man bestimme die Gleichungen der Asymptoten von c.
b)
Man führe die Hauptachsentransformation bis zum guten Ende
durch und bestimme die Art und die Daten der Flaeche.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1387
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juni, 2004 - 15:46: |
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Hi megamath,
a) z = 0
x^2 + y^2 - 10xy = 1
Steigung der Asymptoten:
durch x^2 dividieren, dann x -> inf , daraus wird y/x = m
y^2/x^2 - 10 y/x + 1 = 1/x^2 [x->inf]
m^2 - 10m + 1 = 0
m1 = 5 + 2*sqrt(6) , m2 = 5 - 2*sqrt(6)
Wegen der Symetrie gehen die Asymptoten durch den Ursprung, damit haben wir die Asymptoten:
y = ( 5 + 2*sqrt(6) )*x
y = ( 5 - 2*sqrt(6) )*x
Man kann auch:
x^2 + y^2 - 10xy = 1 auflösen in zwei Funktionen:
y = 5*x +- sqrt(24x^2 + 1)
Da kann man auch alles erkennen!
b)
Die ist eine nette kleine Rechnung um mal wieder die Zellen anzuwärmen, aber diese Rechnung ist auch sehr Fehleranfällig!
Die Matrix M der Quadrik:
| 1 | -5 | sqrt(2) | | -5 | 1 | -sqrt(2) | | sqrt(2) | -sqrt(2) | 6 |
Das charakteristische Polynom von M lautet:
L^3 - 8L^2 - 16L + 128 = 0
mit L1 = 8 , L2 = 4 , L3 = -4
Daher nach Hauptachsentransformation:
8X^2 + 4Y^2 - 4Z^2 = 1
ein einschalige Hyperboloid! Mittelpunkt M (0/0/0)
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4092
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Juni, 2004 - 19:40: |
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Hi Ferdi
Deine Berechnungen sind alle in bester Ordnung.
Vielen Dank!
MfG
H.R.Moser,megamath
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