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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4082
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Juni, 2004 - 15:30: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 390
Es sind die folgenden vier Funktionen gegeben:
f(x) = sqrt (1 + x)
g(x) = sqrt (1 + sin x)
h(x) = sqrt (1 + sinh x)
m(x) =sqrt (1 + x cos x)
Man bestätige, dass alle vier Taylorentwicklungen
mit Zentrum x = 0 in den ersten Gliedern bis und mit der
zweiten Potenz in x übereinstimmen. Begründung?
Man ermittle die Koeffizienten von x^3 für jede
einzelne Entwicklung.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1380
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Juni, 2004 - 21:34: |
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Hi megamath,
kennt man:
a) sqrt(1+x) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + (1/16)x^3 + O(x^4)
bI) sin(x) = x - (1/6)x^3 + O(x^4)
bII) sinh(x) = x + (1/6)x^3 + O(x^4)
bIII) x*cos(x) = x - (1/2)x^3 + O(x^4)
Setzt man nun in a) für x jeweils die Reihen b) ein so erhält man die ersten Glieder der Taylorentwicklung:
g(x) = 1 + (1/2)(x - (1/6)x^3) - (1/8)(x - (1/6)x^3)^2 + (1/16)(x - (1/6)x^3)^3
Eine kleine Rechung liefert nun:
g(x) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 - (1/48)x^3 + O(x^4)
Für die anderen Reihen ebenso:
h(x) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + (7/48)x^3 + O(x^4)
m(x) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 - (3/16)x^3 + O(x^4)
Man sieht bis zur zweiten Potenz stimmen alle über ein. Die Begründung muss ich jemandem anders überlassen...
Man kann auch die Koeffizieten für die 3.Potenz direkt ablesen:
f(x) ==> (1/16) ; g(x) ==> -(1/48) ; h(x) ==> (7/48) ; m(x) ==> -(3/16)
Bei Bedarf kann ich kurz einen kleinen Beweis für meine Gleichung a) zeigen.
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4085
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 2004 - 09:44: |
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Hi Ferdi
Deine Angaben sind alle richtig!
Auch die Begründung ist implizit vorhanden.
Dein "kleiner Beweis" interessiert mich schon.
Vielleicht komme ich noch dazu,ebenfalls einen Beitrag zu liefern.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1383
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Juni, 2004 - 10:15: |
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Hi megamath,
hier mein kleiner Beweis für:
sqrt(1+x) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + (1/16)x^3 + O(x^4)
Sei:
A)
sqrt(1+x) = 1 + ax + bx^2 + cx^3 + dx^4 + ...
ableiten:
1/{2*sqrt(1+x)} = a + 2bx + 3cx + 4dx^3 + ...
Daraus:
sqrt(1+x) = (1+x)*(2a + 4bx + 6cx^2 + 8dx^3...)
Ausmultiplizieren liefert:
B)
sqrt(1+x) = 2a + x(4b+2a) + x^2(6c+4b) + x^3(8d+6c) + ...
Nun Koeffizientenvergleich zwischen der letzen und der ersten Formel:
2a = 1 ==> a = 1/2
(4b + 2a) = a ==> b = -(1/8)
(6c + 4b) = b ==> c = (1/16)
Insgesamt:
sqrt(1+x) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + (1/16)x^3 + O(x^4)
mfg |
