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Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4071
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Mai, 2004 - 09:29: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 386, Reihen 23
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^2 / [x - ln (1+x)]
für x = 0 gelte f(0) = 2 (Unstetigkeit behoben!).
Als Näherung dieser Funktion in einer Umgebung
von x = 0 nehme man das Polynom dritten Grades
g(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d, wobei g(x) mit der Summe
der ersten Glieder der Taylorentwicklung mit Zentrum x = 0
übereinstimmt.
Mit Hilfe von g(x) ermittle man eine Näherung N
für das Integral J = int [f(x)] in den Grenzen [0,1]
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1375
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Mai, 2004 - 16:09: |
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Hi megamath,
auch hier eignet sich das Verfahren mit dem Koeffizientenvergleich!
Es gilt:
x^2/(x-ln(1+x)) = 1 / ((1/2) - x/3 + x^2/4 - x^3/5...)
Also:
ax^3 + bx^2 + cx + d = 1 / ((1/2) - x/3 + x^2/4 - x^3/5...)
(ax^3 + bx^2 + cx + d)*((1/2) - x/3 + x^2/4 - x^3/5...) = 1
Liefert die Gleichungssysteme:
(1/2)d = 1 , (-d/3 + c/2) = 0 etc...
folglich ist:
g(x) = 2 + 4/3*x - 1/9*x^2 + 8/135*x^3
Mit int[g(x) dx] [0..1] = 119/45 [ ~ 2,6444 ]
mfg
(Beitrag nachträglich am 29., Mai. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4073
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Mai, 2004 - 08:41: |
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Hi Ferdi
Alle Deine Ergebnisse sind richtig; Bravo und Dank!
Es ist vielleicht interessant zu erfahren, dass
bei der näherungsweisen Berechnung des Integrals J
mit dieser Methode der relative Fehler nur
0,18% beträgt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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