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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4065 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Mai, 2004 - 09:25: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 383, Reihen 20 Man leite die folgende Reihen-Entwichlung für f(x) = (arc tan x) ^ 2 her: (arc tan x )^2 =sum [(-1)^(k-1)*{1+1/3+….+1/(2*k-1)}* x^ (2k) / k] Summationsindex k = 1 ad infinitum. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 880 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Mai, 2004 - 14:09: |
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Megamath, Es ist f(x) =2 ò0 x arctan(t)/(1+t2) dt. Den Integranden schreiben wir als Cauchy-Produkt der beiden Potenzreihen arctan(t) = S¥ m=0 (-1)mt2m+1/(2m+1) und 1/(1+t2) = S¥ n=0 (-1)nt2n : 2 arctan(t)/(1+t2) = S¥ k=0 (-1)k(Sk n=02/(2n+1))x2k+1. Hieraus entsteht durch erlaubte gliedweise Integration die behauptete Formel. mfG Orion
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1409 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Mai, 2004 - 14:25: |
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Hallo megamath Es gilt: Sk n=0 1/[(2n+1)(2(k-n)+1)]-Sk n=01/[(k+1)(2n+1)] =Sk n=0(2n-k)/[(2n+1)(2(k-n)+1)(k+1)] =1/(2(k+1))*Sk n=0{1/[2(k-n)+1]-1/(2n+1)} =0 Also Sk n=0 1/[(2n+1)(2(k-n)+1)]=Sk n=01/[(k+1)(2n+1)] Jetzt bilden wir das Cauchyprodukt arctan(x)*arctan(x) mit arctan(x)=S¥ k=0(-1)k/(2k+1)*x2k+1 Man erhält (arctan(x))2=S¥ k=0 ck mit ck=Sk n=0(-1)n/(2n+1)*x2n+1*(-1)k-n/(2(k-n)+1)*x2(k-n)+1 =(-1)kx2k+2*Sk n=01/[(2n+1)(2(k-n)+1)] =(-1)kx2k+2*Sk n=01/[(k+1)(2n+1)] Verschieben wir noch den Index k->k-1, dann ergibt sich (arctan(x))2=S¥ k=1[(-1)k-1*x2k/k*Sk-1 n=01/(2n+1)] MfG Christian Da war Orion wohl schneller als ich (Beitrag nachträglich am 27., Mai. 2004 von Christian_s editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4066 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Mai, 2004 - 19:26: |
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Hi Orion; Hi Christian Besten Dank für diese kompetenten Lösungen! MfG H.R.Moser,megamath |