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Lockere Folgen 383 : Reihen 20

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4065
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Mai, 2004 - 09:25:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 383, Reihen 20

Man leite die folgende Reihen-Entwichlung für
f(x) = (arc tan x) ^ 2 her:
(arc tan x )^2 =sum [(-1)^(k-1)*{1+1/3+….+1/(2*k-1)}* x^ (2k) / k]
Summationsindex k = 1 ad infinitum.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 880
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Mai, 2004 - 14:09:   Beitrag drucken

Megamath,

Es ist

f(x) =2 ò0 x arctan(t)/(1+t2) dt.

Den Integranden schreiben wir als Cauchy-Produkt
der beiden Potenzreihen

arctan(t) = S¥ m=0 (-1)mt2m+1/(2m+1)

und

1/(1+t2) = S¥ n=0 (-1)nt2n :

2 arctan(t)/(1+t2) =

S¥ k=0 (-1)k(Sk n=02/(2n+1))x2k+1.

Hieraus entsteht durch erlaubte gliedweise Integration
die behauptete Formel.
mfG Orion
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1409
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Mai, 2004 - 14:25:   Beitrag drucken

Hallo megamath

Es gilt:
Sk n=0 1/[(2n+1)(2(k-n)+1)]-Sk n=01/[(k+1)(2n+1)]
=Sk n=0(2n-k)/[(2n+1)(2(k-n)+1)(k+1)]
=1/(2(k+1))*Sk n=0{1/[2(k-n)+1]-1/(2n+1)}
=0
Also
Sk n=0 1/[(2n+1)(2(k-n)+1)]=Sk n=01/[(k+1)(2n+1)]

Jetzt bilden wir das Cauchyprodukt arctan(x)*arctan(x) mit
arctan(x)=S¥ k=0(-1)k/(2k+1)*x2k+1

Man erhält
(arctan(x))2=S¥ k=0 ck
mit
ck=Sk n=0(-1)n/(2n+1)*x2n+1*(-1)k-n/(2(k-n)+1)*x2(k-n)+1
=(-1)kx2k+2*Sk n=01/[(2n+1)(2(k-n)+1)]
=(-1)kx2k+2*Sk n=01/[(k+1)(2n+1)]

Verschieben wir noch den Index k->k-1, dann ergibt sich
(arctan(x))2=S¥ k=1[(-1)k-1*x2k/k*Sk-1 n=01/(2n+1)]

MfG
Christian

Da war Orion wohl schneller als ich :-)

(Beitrag nachträglich am 27., Mai. 2004 von Christian_s editiert)
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4066
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Mai, 2004 - 19:26:   Beitrag drucken

Hi Orion; Hi Christian



Besten Dank für diese kompetenten Lösungen!

MfG
H.R.Moser,megamath

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