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Lockere Folge 382 : Reihen 19

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4063
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Mai, 2004 - 11:36:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 382 , Reihen 18.

Gegeben ist die sechste Einheitswurzel zo,
zo = cos (2*Pi / 6) + i sin (2*Pi / 6).
Damit bilde man
w = zo ^ (n*t);
n ist eine natürliche Zahl,
t ist Element der Menge M = {1,2,3,4,5}

Man ermittle die Summe S(t) der unendlichen Reihe
sum [w / n)] , n = 1 ad infinitum.
Man bearbeite den Fall t = 2 und stelle
S(2) in der Form A(t) + i B(t) dar.

Für welche Werte von t wird S reell,
für welche rein imaginär?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 879
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Mai, 2004 - 15:49:   Beitrag drucken

Megamath,

wir greifen einmal mehr auf die für |z| £ 1,
z ‡ 1 gültige Reihenentwicklung

S¥ n=1 zn/n = - ln (1-z)

zurück. Ist arg(z) = j , so hat man

Re(1-z) = 1-cos j , Im(1-z) = sin j =>

| 1-z | = 2 |sin (j/2)|,

arg(1-z) = arctan[sin j /(1-cos j)]

= arctan[cot(j/2)]

= (p-j)/2 =>

- ln(1-z) = - ln 2 - ln[sin(j/2)]

+ (j-p)i/2 (Hauptzweig)

Die vorgelegte Reihe erhält man, indem man
j = pt/3 setzt:

S(t) = - ln(2) - ln |sin(pt/6)| +[(3-t)p]i/6
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4064
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Mai, 2004 - 16:18:   Beitrag drucken

Hi Orion



Eine schöne Herleitung der Summe dieser
Eulerschen Reihe!
Ich habe dasselbe Resultat:
füt t = 2 kommt:
A = - 1/2 ln 3
B = Pi/6

Nach meiner Meinung ist der wiederholte Einsatz
erfolgreicher Methoden nur zu begrüssen;
wir wollen sie alle im Hinterkopf speichern.

MfG
H.R.Moser,megamath


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