Autor |
Beitrag |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4063 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Mai, 2004 - 11:36: |
|
Hi allerseits Aufgabe LF 382 , Reihen 18. Gegeben ist die sechste Einheitswurzel zo, zo = cos (2*Pi / 6) + i sin (2*Pi / 6). Damit bilde man w = zo ^ (n*t); n ist eine natürliche Zahl, t ist Element der Menge M = {1,2,3,4,5} Man ermittle die Summe S(t) der unendlichen Reihe sum [w / n)] , n = 1 ad infinitum. Man bearbeite den Fall t = 2 und stelle S(2) in der Form A(t) + i B(t) dar. Für welche Werte von t wird S reell, für welche rein imaginär? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
|
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 879 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Mai, 2004 - 15:49: |
|
Megamath, wir greifen einmal mehr auf die für |z| £ 1, z 1 gültige Reihenentwicklung S¥ n=1 zn/n = - ln (1-z) zurück. Ist arg(z) = j , so hat man Re(1-z) = 1-cos j , Im(1-z) = sin j => | 1-z | = 2 |sin (j/2)|, arg(1-z) = arctan[sin j /(1-cos j)] = arctan[cot(j/2)] = (p-j)/2 => - ln(1-z) = - ln 2 - ln[sin(j/2)] + (j-p)i/2 (Hauptzweig) Die vorgelegte Reihe erhält man, indem man j = pt/3 setzt: S(t) = - ln(2) - ln |sin(pt/6)| +[(3-t)p]i/6 mfG Orion
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4064 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Mai, 2004 - 16:18: |
|
Hi Orion Eine schöne Herleitung der Summe dieser Eulerschen Reihe! Ich habe dasselbe Resultat: füt t = 2 kommt: A = - 1/2 ln 3 B = Pi/6 Nach meiner Meinung ist der wiederholte Einsatz erfolgreicher Methoden nur zu begrüssen; wir wollen sie alle im Hinterkopf speichern. MfG H.R.Moser,megamath |
|