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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4057 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 07:43: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 379, Reihen 16. Man beweise die Identität (1+x^2) arc tan x = x – 2 * sum[ (-1)^n * x^(2n+1) / (4n^2 - 1)] Der Summationsindex n läuft von n = 1 ad infinitum. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1370 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 12:06: |
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Hi megamath, ich habs so probiert, ich hoffe ich durfte die Reihe so auseinander nehmen: in der Summe Partialbruchzerlegung: 1/(4n^2-1) = (1/2)*(1/(2n-1) - 1/(2n+1)) x + sum1[ (-1)^n *x^(2n+1)/(2n+1) ] - sum2[ (-1)^n * x^(2n+1)/(2n-1) ] [n=1..inf] Es gilt ja bekanntlich: arctan(x) = sum[ (-1)^k * x^(2k+1) /(2k+1)] [k=0..inf] Die erste Summe entpuppt sich also als: arctan(x) - x Die zweite Summe schreiben wir: x^2 * sum [ (-1)^n * x^(2n-1) / (2n-1) ] [n=1..inf] Setzen wir nun n = k + 1 -x^2 * sum[ (-1)^k * x^(2k+1) / (2k+1) ] [k=0..inf] also -x^2*arctan(x) Insgesamt gilt also: 2*sum[ (-1)^n * x^(2n+1) / (4n^2-1)] [n=1..inf] ==> x - arctan(x) - x^2*arctan(x) Zusammen: x - 2*sum[ (-1)^n * x^(2n+1) / (4n^2-1)] [n=1..inf] ==> arctan(x) + x^2*arctan(x) ==> arctan(x) * (1+x^2) q.e.d. mfg (Beitrag nachträglich am 25., Mai. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4060 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 13:54: |
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Deine Methode ist eindrücklich und führt zum Ziel. Man könnte auch so vorgehen: wir leiten beide Seiten nach x ab ; Linke Seite L(x) = (1+x^2) arc tan x Rechte Seite R(x) = x – 2 * sum[ (-1)^n * x^(2n+1) / (4n^2 - 1)] Rechts: leite unverholen unter dem Summenzeichen ab! Nun zeigen wir, dass die Ableitungen übereinstimmen. Aus L´ (x) = R´ (x) folgt L(x) = R(x) + c. Die Integrationskonstante ist null, wie man leicht herausfindet. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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