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Lockere Folge 379 : Reihen 16

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4057
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 07:43:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 379, Reihen 16.

Man beweise die Identität
(1+x^2) arc tan x = x – 2 * sum[ (-1)^n * x^(2n+1) / (4n^2 - 1)]
Der Summationsindex n läuft von n = 1 ad infinitum.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1370
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 12:06:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich habs so probiert, ich hoffe ich durfte die Reihe so auseinander nehmen:

in der Summe Partialbruchzerlegung:

1/(4n^2-1) = (1/2)*(1/(2n-1) - 1/(2n+1))

x + sum1[ (-1)^n *x^(2n+1)/(2n+1) ] - sum2[ (-1)^n * x^(2n+1)/(2n-1) ] [n=1..inf]

Es gilt ja bekanntlich:

arctan(x) = sum[ (-1)^k * x^(2k+1) /(2k+1)] [k=0..inf]

Die erste Summe entpuppt sich also als:
arctan(x) - x

Die zweite Summe schreiben wir:

x^2 * sum [ (-1)^n * x^(2n-1) / (2n-1) ] [n=1..inf]

Setzen wir nun n = k + 1

-x^2 * sum[ (-1)^k * x^(2k+1) / (2k+1) ] [k=0..inf]

also -x^2*arctan(x)

Insgesamt gilt also:

2*sum[ (-1)^n * x^(2n+1) / (4n^2-1)] [n=1..inf]
==> x - arctan(x) - x^2*arctan(x)

Zusammen:

x - 2*sum[ (-1)^n * x^(2n+1) / (4n^2-1)] [n=1..inf]
==> arctan(x) + x^2*arctan(x)
==> arctan(x) * (1+x^2)

q.e.d.

mfg

(Beitrag nachträglich am 25., Mai. 2004 von tl198 editiert)
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4060
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 13:54:   Beitrag drucken

Deine Methode ist eindrücklich und führt zum Ziel.

Man könnte auch so vorgehen:
wir leiten beide Seiten nach x ab ;
Linke Seite L(x) = (1+x^2) arc tan x
Rechte Seite R(x) = x – 2 * sum[ (-1)^n * x^(2n+1) / (4n^2 - 1)]
Rechts: leite unverholen unter dem Summenzeichen ab!
Nun zeigen wir, dass die Ableitungen übereinstimmen.
Aus L´ (x) = R´ (x) folgt
L(x) = R(x) + c.
Die Integrationskonstante ist null, wie man leicht herausfindet.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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