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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4058 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 09:41: |
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Hi allerseits Bei der Aufgabe LF 380 ist ein Grenzwert zu bestimmen. Gesucht wird LIM [ Pi / h * coth (Pi * h) – 1 / h^2], für h -> 0 Das Ergebnis benötigen wir in einer der folgenden Aufgaben der Serie LF,Reihen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1369 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 10:51: |
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Hi megamath , ist der gesuchte Grenzwert: G = (1/3)*PI^2 ?? Hier meine Lösung: zunächst auf einen Nenner bringen: lim[ {PI * h * Coth(PI*h) - 1} / h^2 ] h->0 Es gilt: coth(PI*h) = 1/(h*pi) + (h*pi)/3 - (h*pi)^3/45... einsetzen: lim[ {1 + (h*pi)^2/3 - (h*pi)^4... - 1}/h^2 ] h->0 Die Eins im Zähler hebt sich weg! wir kürzen durch h^2: lim[ pi^2/3 - h^2*pi^4/45...] h->0 = pi^2/3 da alle anderen Term noch mindestens ein h enthalten und somit 0 werden! Damit: lim[ PI/h * coth(PI * h) - 1/h^2 ] h->0 ==> (1/3)*PI^2 mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4059 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Mai, 2004 - 13:36: |
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Hi Ferdi Die Herleitung und das Resultat sind richtig! Danke! Am einfachsten löst man die Aufgabe mir der Taylorentwicklung der Funktion f(m) = m* coth (m) im Nullpunkt m = 0. Unter Verwendung des Landau-Symbols O entsteht sofort f(m) = 1 + 1/3 m^2 +O(m^4). Dies ist ein Stenogramm Deines Ansatzes! Der Grenzwert ergibt sich, etwas mühsamer, mit Hilfe des Regel von de L´Hospital-Bernoulli; man muss sie zweimal anwenden und sehr sorgfältig rechnen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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