Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Lockere Folge 378 : Reihen 15

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Lockere Folge 378 : Reihen 15 « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4046
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 07:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Mit der Aufgabe LF 378 erscheint meine Lieblingsreihe;
sie zählt auch wegen des Ergebnisses zu meinen Favoriten.
Sie ist allerdings kaum fassbar, wenn man das Schlupfloch
nicht kennt.

Die Aufgabe lautet.
Für welche Werte von m ist die unendliche Reihe
sum [{sin(1/n) }^ m * {tan(1/n)}^ m^2 ],
n = 1 ad infinitum, konvergent?

MfG
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 877
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 15:59:   Beitrag drucken

Megamath,

Es wird über den Daumen gepeilt: Sei

[sin(1/n)]m*[tan(1/n)]m2 =: f(n).

Nun gilt für n®¥ :

sin(1/n) = O(1/n) , tan(1/n) = O(1/n) ,

also

f(n) = O((1/n)m2+m).

Die fragliche Reihe konvergiert also g.d.w.

m2 + m > 2 <=> (m+2)(m-1)>0

<=> m < -2 oder m > 1.

(Beitrag nachträglich am 22., Mai. 2004 von Orion editiert)
mfG Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4049
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 16:21:   Beitrag drucken

Hi Orion

Diese Methode führt direkt zum Ziel; besten Dank
für Deine Lösung.

Allerdings wird noch ein kleines
Differenzenbereinigungsverfahren nötig.
Ich habe die Ungleichung
m + m^2 > 1 erhalten.
Damit tauchen die Terme aus der Praxis des
goldenen Schnitts auf!
Konvergenz findet statt für
m > ½{sqrt(5) - 1} oder m < - ½ {1+sqrt(5)}

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Tl198 (Tl198)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1367
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 18:13:   Beitrag drucken

Hi Orion,

eine kurze Frage:

Soll "O(1/n)" das Landau Symbol sein??

mfg
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 878
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 18:44:   Beitrag drucken

Megamath,

ja klar : m(m+1) > 1 war auch im Hinterkopf !

Ferdi,

O = Landau - Symbol.
mfG Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4055
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 24. Mai, 2004 - 20:08:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Zur Lösung dieser Aufgaben kann vom folgenden Satz
für Reihen mit positiven Gliedern Gebrauch gemacht werden:
Sind die allgemeinen Glieder der Reihen
R1 := sum ak und R2 := sum bk äquivalent,
d.h. so beschaffen, dass die beiden Zahlenfolgen
ak/bk und bk/ak für k gegen unendlich beide gegen 1
konvergieren, so konvergieren bzw. divergieren die beiden
Reihen gleichzeitig.

Im vorliegenden Fall dient als Reihe R1 die gegebene Reihe,
mit ak = (sin(1/k))^m*(tan(1/k))^(m^2),
als Reihe R2 die Reihe R2:=sum [1 /{k^(m+m^2) }]
mit bk = (1//k)^m * (1/k)^(m^2).
Setzen wir h = 1/k, so entsteht der Quotient
ak/bk = {sin h / h} * (tan h / h ) ^ (m^2).
Für k gegen unendlich strebt h gegen null, und die Quotienten
streben gegen eins, wzbw.

Die erwähnte Äquivalenz steht in engem Zusammenhang mit dem
Landau-Symbol; damit hat sich dieser Kreis geschlossen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page