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Quotienten und Wurzelkriterium

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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1105
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 18:28:   Beitrag drucken

Hi Leute,

wie zeige ich, das für eine Folge
(an)n aus IN aus ]0,¥[IN gilt

lim inf [an+1/an]=< lim sup (an)1/n=< lim Sup [an+1/an]

Woran man erkennt das das Wurzelkriterium "stärker" ist als das Quotientenkriterium.
Ich habe zwar eine Art Beweis, der ist aber nicht vollständig, und außerdem verstehe ich einige Zwischenschritte nicht....

Bei bedarf werde ich hier ihn publizieren, aber vieleicht hat ja auch jemand eine elegantere, verständlichere Version auf Lager....

vielen Dank!

mfg

Niels
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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1106
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 09:22:   Beitrag drucken

Hi Leute,

zur erläuterung:

auf folgenden Blatt findet man unter Aufgabe 5) einen Beweis für diese Ungleichung. Der Anfang ist auch noch halbwegs klar: s-e definition von Lim inf und Lim Sup, aber danach wird es schwiriger....Wieso existiert so ein ominöses "M" bei den folgenden Abschätzungen und wie kommt die Potenz zu stande?

Viel Spaß beim lesen.....

application/pdfQuotienten und Wurzelkriterium
Ana2LehramtBlatt01Loesung.pdf (68.8 k)


Gruß N.
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1397
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 12:11:   Beitrag drucken

Hi Niels

Also erstmal zu dem "M". Das muss existieren, weil ak0 ja ein fester Wert ist genau wie (s+e)k0, wobei das M natürlich von der Wahl von e abhängt.

Dann wurde ja vorher angenommen, dass
ak/ak-1£s+e gilt für k³k0.

Also natürlich auch
ak/ak-1*ak-1/ak-2*...*ak0+1/ak0£(s+e)k-k0

Zusammengesetzt ergibt sich dann
ak=ak/ak-1*ak-1/ak-2*...*ak0+1/ak0*ak0£(s+e)k-k0*M(s+e)k0
=M(s+e)k

Danach wird ja dann nur noch die Wurzel gezogen und der Grenzwert gebildet.

MfG
Christian


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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1109
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 13:40:   Beitrag drucken

Hi Christian,

jetzt wo du es sagst klingt es logisch....

vielen Dank!

Das die Erklärung für das "M" so einfach ist hätte ich nicht gedacht!

Gruß N.

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