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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4042 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 13:32: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 376. Gegeben f(n) = {1*3*5*…(2n-1)} / {2*4*6…*(2n)} Daraus entsteht mit p > 0 die unendliche Reihe sum [ f(n) ^ p ] , n = 1 ad infinitum. Man untersuche mit einem geeigneten Kriterium, für welche Werte von p die Reihe konvergiert. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 876 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 14:21: |
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Megamath, f(n) = (2n)!/[22n(n!)2] = O(n- 1/2) (Stirling) => f(n)p = O(n- p/2) => die Reihe konvergiert g.d.w. p > 2. (Beitrag nachträglich am 21., Mai. 2004 von Orion editiert) mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4043 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 14:40: |
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Hi Orion Einverstanden,Bravo und Dank! MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1364 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 16:06: |
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Hi megamath & Orion, ich habe irgendwo mal diese Ungleichungskette gesehen: 1/sqrt(4*n+1) < product[(2k-1)/2k] [k=1..n] < 1/sqrt(3*n+1) Also : (4n+1)^(-p/2) < f(n)^p < (3n+1)^(-p/2) Woraus folgt das f(n)^p nur für p > 2 konvergiert! mfg |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1104 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 17:36: |
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Hi Ferdi, der Beweis deiner Ungleichungskette würde mich ja brennend interessieren. Gruß N. |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1394 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 18:09: |
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Hi Niels Schau mal hier: http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/357834.html Da habe ich sowas ähnliches bewiesen. Der Beweis von Ferdis Ungleichung funktioniert analog. MfG Christian |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1107 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 22. Mai, 2004 - 10:39: |
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Hi Christian, vielen Dank für den Link! Gruß N. |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1691 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. November, 2004 - 19:13: |
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Hi megamath, eine Frage: heute wurde behauptet die Konvergenz dieser Reihe lasse sich auch mit dem Kriterium von Raabe beweisen! Ich hab es jetzt mal ein wenig versucht, aber komme zu keinem Ergebniss! Meine Lösung ist jetzt dabei geblieben, die Reihe zwischen den Wurzeln einzuklemmen, und dann das Vergleichskrietrium anzuwenden, dann sieht man auch das p>2 sein muss. Weißt du ob Raabe hier hilft? mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4642 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 25. November, 2004 - 20:53: |
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Hi Ferdi Ich habe soeben mit Erfolg das Kriterium von Raabe bei Deiner Reihe eingesetzt. Das Ergebnis teile ich morgen im Lauf des Tages mit! Als Trost möge Dir das Folgende dienlich sein: http://mapcar.de/postcards/framesets/_f_postcards_morgenstern_der_rabe_ralf.html MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4643 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 26. November, 2004 - 12:19: |
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Hi Ferdi Es folgt nun der Versuch, die Konvergenz dieser Reihe für p > 2 mit Hilfe des Kriteriums von Raabe nachzuweisen. Spiritus rector des Kriteriums: Joseph Ludwig Raabe (1801-1859) Studium in Wien, Professur an der ETH (Polytechnikum) in Zürich. Im Vorspann seien ein paar Bemerkungen zu diesem Kriterium aufgeführt. Beim Kriterium von Raabe muss der Term R(n) = n * [a(n+1) / a(n) – 1 ] untersucht werden. Grenzwerte von R(n) für n strebt gegen unendlich: Für lim R(n) > - 1 : Divergenz Für lim R(n) < - 1 : Konvergenz Für lim R(n) = - 1 : kein Entscheid. Bei der vorliegenden Reihe gehen wir von der Darstellung des allgemeinen Gliedes a(n) = { (2n)! / [2^(2n)(n!)^2] } ^ p aus. Diese Darstellung ist handlicher als die ursprüngliche und taucht im weiter oben zitierten Beitrag von Orion auf. Wir berechnen der Reihe nach: a(n+1) / a(n) = [(2n+1)/(2n+2)]^p a(n+1) / a(n) – 1 = [(2n+1)/(2n+2)]^p - 1 also: R(n) = n * [a(n+1) / a(n) – 1 ] = n* { [(2n+1)/(2n+2)]^p – 1 } Das ist noch zu wenig übersichtlich, daher die Substitution: 2n+2 = m, 2n +1 = m-1, n= ½*m – 1 Es entsteht R = n*{[(m-1)/m]^p - 1}= n*{(1 - 1/m)^p – 1} ~ n* {1 – p*(1/m) -1 } = - n p / 2*(n+1) Der Grenzwert von R für n gegen unendlich stimmt mit - ½ p überein. Die Konvergenzbedingung: - ½ p < -1 führt auf p > 2. Der Kreis hat sich geschlossen! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1692 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 26. November, 2004 - 13:14: |
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Hi megamath, besten Dank für deine Lösung! Einmal Bernoulli war als die Idee. Also geht es doch mit Raabe... Hauptsache man bekommt dasselbe Ergebniss! mfg |