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Lockere Folge 375 : Reihen 13

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Lockere Folge 375 : Reihen 13 « Zurück Vor »

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4039
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Mai, 2004 - 11:12:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 345

Man untersuche für komplexe Zahlen z das Konvergenzverhalten
der unendlichen Reihe
sum [n! / {2 ^ (n +1) * z * (z +1) * (z + 2)… * (z + n)}],
n = 1 ad infinitum.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1362
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 11:17:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich rätsele nun schon eine ganze Zeit lang! Der Nenner der Reihe erinnert mich an die Gaußsche Produktdarstellung der Gammafunktion...

Kann man da ansetzen? Ansonsten müsste jemand mal einen kleinen Denkanstoß geben!

mfg
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1393
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 12:48:   Beitrag drucken

Hi megamath und Ferdi

Kann man hier nicht einfach das Quotientenkriterium verwenden?
Setzt man an=[n! / {2 ^ (n +1) * z * (z +1) * (z + 2)… * (z + n)}], so berechnet man

|an+1/an|=|(n+1)/(2(z+n+1))|
Der Grenzwert für n->¥ ist 1/2 für alle komplexen z, also konvergiert die Reihe für alle komplexen z.

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4041
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 13:20:   Beitrag drucken

Hi Ferdi, Hi Christian

Die Lösung von Christian ist richtig, inklusive die Methode.
Zu präzisieren wäre, dass z = 0 und die negativen ganzen z-Werte
auszuschließen sind.
Außerdem ist die Aufgabe mit LF 375 ( nicht 345 ) zu bezeichnen.

Bald kommen neue Reihenaufgaben, darunter besonders
anspruchsvolle!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4045
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 17:05:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Eine Verallgemeinerung dieser Aufgabe lautet:

Gegeben sei F(z,k) = k! / {z * (z +1) * (z + 2)… * (z + k)}

Man beweise.
Die Reihe R: = sum [ak* F(z,k)], k=1 ad infinitum
konvergiert für alle z-Werte ausser
z = 0, -1,-2,-3…,wenn der Konvergenzradius r der
zugeordneten Reihe
sum [ak * z^k], k =1 ad infinitum
größer als eins ist;
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
sie divergiert für r < 1;

ist der Konvergenzradius gleich eins,
ist eine nähere Untersuchung fällig.

Im vorliegenden Fall gilt r = 2; damit ist die Konvergenz gesichert.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser

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