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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4039 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Mai, 2004 - 11:12: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 345 Man untersuche für komplexe Zahlen z das Konvergenzverhalten der unendlichen Reihe sum [n! / {2 ^ (n +1) * z * (z +1) * (z + 2)… * (z + n)}], n = 1 ad infinitum. MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1362 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 11:17: |
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Hi megamath, ich rätsele nun schon eine ganze Zeit lang! Der Nenner der Reihe erinnert mich an die Gaußsche Produktdarstellung der Gammafunktion... Kann man da ansetzen? Ansonsten müsste jemand mal einen kleinen Denkanstoß geben! mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1393 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 12:48: |
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Hi megamath und Ferdi Kann man hier nicht einfach das Quotientenkriterium verwenden? Setzt man an=[n! / {2 ^ (n +1) * z * (z +1) * (z + 2)… * (z + n)}], so berechnet man |an+1/an|=|(n+1)/(2(z+n+1))| Der Grenzwert für n->¥ ist 1/2 für alle komplexen z, also konvergiert die Reihe für alle komplexen z. MfG Christian |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4041 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 13:20: |
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Hi Ferdi, Hi Christian Die Lösung von Christian ist richtig, inklusive die Methode. Zu präzisieren wäre, dass z = 0 und die negativen ganzen z-Werte auszuschließen sind. Außerdem ist die Aufgabe mit LF 375 ( nicht 345 ) zu bezeichnen. Bald kommen neue Reihenaufgaben, darunter besonders anspruchsvolle! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4045 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 21. Mai, 2004 - 17:05: |
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Hi allerseits Eine Verallgemeinerung dieser Aufgabe lautet: Gegeben sei F(z,k) = k! / {z * (z +1) * (z + 2)… * (z + k)} Man beweise. Die Reihe R: = sum [ak* F(z,k)], k=1 ad infinitum konvergiert für alle z-Werte ausser z = 0, -1,-2,-3…,wenn der Konvergenzradius r der zugeordneten Reihe sum [ak * z^k], k =1 ad infinitum größer als eins ist; °°°°°°°°°°°°°°°°°° sie divergiert für r < 1; ist der Konvergenzradius gleich eins, ist eine nähere Untersuchung fällig. Im vorliegenden Fall gilt r = 2; damit ist die Konvergenz gesichert. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser
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