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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4036
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Mai, 2004 - 14:28: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 374
Man untersuche mit geeigneten Konvergenzkriterien,
ob die folgenden unendlichen Reihen konvergieren:
a)
R1 : sum [1 /{(2k+1) * 3^(2k+1)}] , k = 1 ad infinitum.
b)
R2 : sum [{1*3*5…* (2k-1)}/{2*4*6 …*(2k)}] , k = 1 ad infinitum.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 875
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Mai, 2004 - 17:47: |
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Megamath,
a) Die Potenzreihe
f(z) := S¥ k=0 z2k+1/(2k+1)
konvergiert für |z| < 1 , und es ist
f(z) = (1/2) ln [(1+z)/(1-z)]. Somit ist
R1 = f(1/3) - 1/3 = (1/2) ln 2 - 1/3.
b) Der k-te Summand b(k) ist
b(k) = (2k)!/[22k(k!)2]
Mittels Stirling-Formel sieht man leicht, dass
b(k) = O(k-1/2),
daher ist R2 divergent.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4037
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. Mai, 2004 - 20:11: |
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Hi Orion
Besten Dank für Deinen Beitrag.
Deine Lösungen sind ususgemäß richtig!
Ich selbst bin vor Tippfehlern und andern Nachlässigkeiten
nicht gefeit.
Die Teilaufgabe b) hätte lauten sollen:
R2 : sum [{1*3*5…* (2k-1)}/{2*4*6 …*(2k)}*1/(2k-1)] ,
k = 1 ad infinitum.
Diese Version der Reihe ist offenbar konvergent.
In Analysis-Vorlesungen sind zurzeit die
Konvergenzkriterien en vogue.
Ich wollte zu den Kriterien von Cauchy und Raabe
Übungsbeispiele bringen;vielleicht ist das Ganze noch zu retten.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4038
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Mai, 2004 - 11:05: |
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Hi allerseits
Lösung der Aufgabe LF 374 mit Hilfe von Konvergenzkriterien
a)
Wir erhalten für den Quotienten
a(n+1) / a(n) nach Vereinfachung
a(n+1) / a(n) = 1/9 * (2n +1) / (2n +3)
Dies strebt gegen 1/9, wenn n gegen unendlich geht.
Nach dem Quotientenkriterium von Cauchy konvergiert die
gegebene Reihe.
b)
Wir erhalten für den Quotienten
a(n+1) / a(n) nach Vereinfachung
a(n+1) / a(n) = (2 n – 1 ) / (2 n + 2 )
Daraus entsteht
n *{ a(n+1) / a(n) – 1} = - 3 n / ( 2 n + 2 )
Dies strebt gegen – 3 / 2 < - 1 , wenn n gegen unendlich geht.
Nach dem Raabeschen Kriterium konvergiert die
gegebene Reihe.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4040
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. Mai, 2004 - 11:50: |
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Hi allerseits
Schlussbemerkung zur Aufgabe LF 374 b):
Bekannt sein dürfte die Entwicklung der Funktion
f(x) = arc sin x in eine Taylorreihe an der Stelle xo = 0,
gültig für abs(x) < =1:
arc sin x = x + ½ * x^3 / 3 + ½* ¾ * x^5 / 5 + ……
= sum [(2n)!/{2^(2n)(n!)^2} * x^(2n+1)/(2n+1)]
Für x = 1 entsteht einerseits unsere Reihe R2
und andrerseits die Summe ½ Pi.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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