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Lockere Folge 371 : unendliches Pèrodukt

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4027
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 19:47:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 371

Es soll die Folgende Gleichheit mit
einem unendlichen Produkt bewiesen werden:

product [1+1/n^2] = 1/Pi* sinh (Pi)
n =1 ad infinitum.

Anmerkung
Zur Lösung der Aufgabe kann man
vom bekannten unendlichem Produkt
für sin (Pi * z) Gebrauch machen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1356
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 21:21:   Beitrag drucken

Hi megamath,

wenn man wie gesagt:

sin(pi*z) = pi*z * product[1 - z^2/n^2] [n=1..inf]

nutzen darf, müsste es so klappen:

sei z = it (i = imaginäre Einheit)

dann gilt:

sin(it) = i * sinh(t)
i^2 = -1

Setzen wir das oben in das unendliche Sinusprodukt ein:

sin(pi*it) = pi*it * product[1 - (it)^2/n^2] [n=1..inf]

alles umformen:

i sinh(pi*t) = pi*it * product[1 + t^2/n^2] [n=1..inf]

sinh(pi*t)/(pi*t) = product[1 + t^2/n^2] [n=1..inf]

Setzen wir hier t = 1

sinh(pi)/pi = product[1 + 1/n^2] [n=1..inf]

q.e.d.

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4028
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 17. Mai, 2004 - 21:46:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Das ist gut so!

Morgen skizziere ich eine mögliche Herleitung
für die Darstellung von sin (Pi z) durch ein unendliches Produkt.
Der Beweis ist in der Funktionentheorie
angeiedelt.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4029
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 09:07:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Hier die versprochene Skizze einer Herleitung der Formel

sin (Pi z) = Pi*z * product[1 - z^2/n^2], [n=1..inf] ………….(FI)


Vorbereitung:
Aus früheren Zeiten kennen wir die Formel

Pi cot (Pi z) = 1/z + sum° [1/(z-n)+ 1/n]…………………………….(FII)

Summationsindex n: von minus unendlich bis plus unendlich
Das Zeichen ° beim Summenzeichen bedeutet, dass n = 0
wegzulassen ist.

Das Thema lautet:
Eine ganze Funktion mit vorgeschriebenen Nullstellen.

Die Funktion f(z) = sin(Pi z) hat die einfachen
Nullstellen 0, +1, -1, +2 , -2 , +3, – 3 ……….

Eine solche Funktion wird gemäß Theorie dargestellt
durch den Ausdruck

h(z) = e^H(z) * z * product° [(1-z/n)*e^(z/n)];
n durchläuft alle ganzen Zahlen mit Ausschluss der Null.

Bei geeigneter Wahl von H(z) gilt dann:
sin ( Pi z ) = e^H(z) * z * product° [(1-z/n)*e^(z/n)]
n: minus unendlich bis plus unendlich, ohne die Null.

Ermittlung von H(z):
Wir bilden die logarithmische Ableitung beider Seiten nach z;
dabei entsteht:

Pi cos (Pi z) / sin ( Pi z) = H´(z) +1/z + sum° [1/(z-n)+ 1/n]
Wegen (FII) gilt:
H´(z) = 0
H(z) und damit auch e^H(z) sind konstante Größen;
wir finden leicht: e ^ H(z) = Pi, weil sin (Pi z) / z gegen Pi strebt
für z gegen null
Damit gilt:
sin ( Pi z ) = Pi z * product° [(1-z/n)*e^(z/n)]

Wir fassen die zu entgegengesetzt gleichen n-Werten gehörenden
Faktoren im Produkt zusammen.
Dann entsteht die angegebene Sinusproduktformel (FI).
Damit endet auch die Beweis-Skizze.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1357
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 10:38:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich kenne da noch einen Weg für das unendliche Sinusprodukt, sie geht auch von deiner Summe aus, wollte ich nur mal zeigen, man sieht wieder viele Wege führen zum Ziel:

cot(z) - 1/z = sum[ 1/(z-nPI) + 1/(nPI)] [n=-inf..inf ohne 0] (a)

Die Summe können wir umformen!!

sum[ 1/(z-nPI) + 1/(nPI)] [n=-inf...-1] +
sum[ 1/(z-nPI) + 1/(nPI)] [n=1...inf]

==> {[ 1/(z+PI) + 1/(z-PI) ] + [ 1/(z+2Pi) + 1/(z-2PI) ]...}
==> {[ 2z/(z^2-PI^2) ] + [ 2z/(z^2-4PI^2) ]...+ [ 2z/(z^2-n^2PI^2)]}
==> sum[ 2z/(z^2-n^2PI^2) ] [n=1..inf]

Nun integrieren wir (a) beiderseitig in den Grenzen 0 bis t! Rechts können wir Summe und Integral vertauschen:

Wir erhalten mit der umgeformten Summe:

ln[sin(t)/t] = sum[ ln( 1 - t^2/(n^2PI^2) ] [n=1..inf]

Nutzen wir nun rechts das log-Gesetz:
ln(a)+ln(b) = ln(a*b)

ln[sin(t)/t] = ln[product( 1 - t^2/(n^2PI^2)) ] [n=1..inf]

Vergleicht man nun die Argumente der ln, so kommt sofort:

sin(t) = t * product[ 1 - t^2/(n^2PI^2) ] [n=1...inf]

Setzen wir nun noch t = pi*z , kommt:

sin(pi*z) = pi*z * product[ 1 - z^2/n^2 ] [n=1..inf]

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4032
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Mai, 2004 - 11:48:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Ich danke Dir für Deinen Beitrag.
Diese Herleitung gefällt mir und gibt Abwechslung!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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