Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Lockere Folge 368 : Reihen R8

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Lockere Folge 368 : Reihen R8 « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4016
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 15. Mai, 2004 - 08:36:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Mit der Aufgabe LF 368 erscheint wiederum
eine (kleine) Reihenaufgabe: R8 .

Einleitung:
Die Funktion f(x) = x / (e^x – 1) lässt sich
bekanntlich in eine Taylorreihe mit
dem Nullpunkt O als Zentrum entwickeln.
In dieser Reihe erscheinen die Bernoullizahlen
Bn, siehe auch
http://www.mathe-seiten.de/bernoulli.pdf
Da die Bezeichnungen in der Literatur nicht
einheitlich sind, sollen hier die ersten neun
Bernoullizahlen notiert werden:
B0 = 1, B1= - ½ , B2 =1/6, B3 = 0 , B4 = -1/30,
B5 = 0 , B6 = 1/42 , B7 = 0 , B(8) = - 1/30.

Aufgabe
Mit der (komplexen) Transformation z = t / i
verwandle man die gegebene Funktion
g(z) = ½ z cot (½ z) in eine Funktion in t,
welche sich mit Hilfe der eben erwähnten
Taylorentwicklung für abs(z) < Pi als eine
Reihe schreiben lässt, in der die Bn auftreten.

Als Ziel soll gelten:
Darstellung von g(z) als eine unendliche Reihe in der
Form mit Bernoullizahlen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Tl198 (Tl198)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1354
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 15. Mai, 2004 - 15:13:   Beitrag drucken

Hi megamath,

eine nette Aufgabe!!

Mein Weg:

(1/2)z * cot((1/2)z) =
(1/2)z * i * ( (e^(iz)+1) / (e^(iz)-1) )

mit z = t/i wir daraus:

(1/2)*t * ( (e^(t)+1) / (e^(t)-1) )
(1/2)*t * coth((1/2)*t)

Das ist gerade

1 + sum[k=1..inf] [ B(2k) * t^(2k) / (2k)! ]

Setzen wir nun wieder t = iz folgt das Ergebniss:

(1/2)z * cot((1/2)*z) = 1 - sum[k=1..inf] [ B(2k) * z^(2k) / (2k)! ]

mfg
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4017
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 15. Mai, 2004 - 17:22:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Deine Herleitung des Schlussresultats ist richtig.
Achtung: die Vorzeichen bei den Bj sollten noch
kontrolliert werden.
In lockerer Schreibweise mit den Bernoullischen Zahlen Bj
lautet das Ergebnis:
g(z) = ½ z cot (½ z) =
1 – B2 /2! x^2 + B4 /4! x^4 – B6 /6! x^6 + B8 / 8! x^8 – B10 /10! x^10 +………

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4018
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 15. Mai, 2004 - 17:26:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Die Bernoullischen Zahlen B(j) treten auch bei andern
Taylorentwicklungen auf.

Beispiele:

x cot x = sum [(-1)^n*4^n *B(2n) / (2n)! * x^(2n) ],
n = 0 ad infinitum,
abs(x) < Pi

tan x = sum [(-1)^(n-1) *4^n * (4^n - 1) * B(2n) / (2n)! * x^(2n-1)],
n = 1 ad infinitum,
abs(x) < ½ Pi

x / sin x = sum [(-1)^(n-1) *(4^n -2) *B(2n) / (2n)! * x^(2n) ],
n = 0 ad infinitum,
abs(x) < Pi

MfG
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4019
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 15. Mai, 2004 - 20:31:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Noch ein Beispiel als Nachzügler:

tanh x = sum [4^n * (4^n - 1) * B(2n) / (2n)! * x^(2n-1)],
n = 1 ad infinitum,
abs(x) < ½ Pi

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4021
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Mai, 2004 - 20:58:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Ohne Beweis sei noch ein interessanter Aspekt
zu den Bernoullizahlen mitgeteilt.
Es gibt eine Formel, die das asymptotische
Verhalten dieser Zahlen beschreibt.
Der Betrag einer Bernoullizahl gerader Nummer
ist angenähert:
abs [B(2k)] ~ 4*{ k / (e*Pi) }^ (2k) * sqrt (k* Pi)

Beispiele:

k = 11:
B(22) = 6192123188
Näherung: 6168712679

k = 33:
B(66) = 0,22753 * 10^41
Näherung: 0,22724 * 10^41

k = 1002:
B(2004) = - 0,29889 * 10^4150
Näherung (Betrag) : 0,29918 * 10^4150

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page