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Summe einer unendlichen Reihe gesucht

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Konvergenz » Summe einer unendlichen Reihe gesucht « Zurück Vor »

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Miro2004 (Miro2004)
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Junior Mitglied
Benutzername: Miro2004

Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 03-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 2004 - 08:27:   Beitrag drucken

Hallo

Vergeblich versuche ich, die Summe einer
unendlichen Reihe zu berechnen!
Die Reihe lautet:
1/1^2 + 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + ….
In den Nennern stehen der Reihe nach die Quadrate
der ungeraden Zahlen.

Ich hoffe sehr, dass mir Spezialisten helfen können.
Besten Dank im Voraus.

Mit freundlichen Grüssen
Miro2004



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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 868
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 2004 - 09:41:   Beitrag drucken

Miro,

Gehe von der bekannten Summe

S¥ n=1 1/n2 = p2/6
aus und beachte, dass folgende Umformung
gestattet ist :

S¥ n=1 1/n2 =

S¥ k=1 1/(2k-1)2

+ S¥ k=1 1/(2k)2.


mfG Orion
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Miro2004 (Miro2004)
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Junior Mitglied
Benutzername: Miro2004

Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 03-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 2004 - 09:54:   Beitrag drucken

Hallo Orion

Danke für Deine Hilfe !
Ich bekomme mit der angegebenen Hilfe das Resultat Pi^2/8.
Ist das richtig ?

MfG
Miro2004
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4013
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 2004 - 10:02:   Beitrag drucken

Hi Miro.

Es ist reizvoll, die Aufgabe noch auf einem (schönen)
Umweg zu lösen; das schadet sicher nichts.

Vorab:
Die Summe ist 1/8 * Pi^2.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Eine mögliche Lösung besteht darin, das Resultat mit
Hilfe einer Fourier-Entwicklung herzuleiten.
Für das Intervall [-Pi,0] gelte f(x) = -x,für das
anschliessende Intervall [0,Pi] sei f(x) = x.
Damit erhält man bei periodischer Fortsetzung mit der
Periode 2 Pi einen Lininzug mit Knickstellen
and den Stellen xk = k * Pi.
Koeffizienten der Fourierentwicklung:
ao = Pi
für die ungeraden Werte von n entsteht an = - 4 / (n^2*Pi)
für alle geraden n wird an null.
Leicht zu bestätigen ist die Tatsache, dass alle Koeffizienten
bn null sind.
Somit lautet die Fourierentwicklung:
f(x) = ½ Pi - 4/Pi *[cos x / 1^2 + cos(3x) / 3^2 + cos(5x) / 5^2 + …]

Für x = 0 entsteht Deine Reihe:

1/1^2 + 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + …………. = (Pi)^2 / 8.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Miro2004 (Miro2004)
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Junior Mitglied
Benutzername: Miro2004

Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 03-2004
Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 2004 - 13:15:   Beitrag drucken

Hallo megamath

Besten Dank für Deinen Lösunngsvorschlag.
Es ist mir - mit einiger Mühe -
gelungen,die Berechnungen auszuführen !

MfG
Miro2004

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