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Miro2004 (Miro2004)
Junior Mitglied Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 9 Registriert: 03-2004
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 2004 - 08:27: |
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Hallo Vergeblich versuche ich, die Summe einer unendlichen Reihe zu berechnen! Die Reihe lautet: 1/1^2 + 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + …. In den Nennern stehen der Reihe nach die Quadrate der ungeraden Zahlen. Ich hoffe sehr, dass mir Spezialisten helfen können. Besten Dank im Voraus. Mit freundlichen Grüssen Miro2004
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 868 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 2004 - 09:41: |
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Miro, Gehe von der bekannten Summe S¥ n=1 1/n2 = p2/6 aus und beachte, dass folgende Umformung gestattet ist : S¥ n=1 1/n2 = S¥ k=1 1/(2k-1)2 + S¥ k=1 1/(2k)2.
mfG Orion
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Miro2004 (Miro2004)
Junior Mitglied Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 10 Registriert: 03-2004
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 2004 - 09:54: |
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Hallo Orion Danke für Deine Hilfe ! Ich bekomme mit der angegebenen Hilfe das Resultat Pi^2/8. Ist das richtig ? MfG Miro2004
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4013 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 2004 - 10:02: |
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Hi Miro. Es ist reizvoll, die Aufgabe noch auf einem (schönen) Umweg zu lösen; das schadet sicher nichts. Vorab: Die Summe ist 1/8 * Pi^2. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Eine mögliche Lösung besteht darin, das Resultat mit Hilfe einer Fourier-Entwicklung herzuleiten. Für das Intervall [-Pi,0] gelte f(x) = -x,für das anschliessende Intervall [0,Pi] sei f(x) = x. Damit erhält man bei periodischer Fortsetzung mit der Periode 2 Pi einen Lininzug mit Knickstellen and den Stellen xk = k * Pi. Koeffizienten der Fourierentwicklung: ao = Pi für die ungeraden Werte von n entsteht an = - 4 / (n^2*Pi) für alle geraden n wird an null. Leicht zu bestätigen ist die Tatsache, dass alle Koeffizienten bn null sind. Somit lautet die Fourierentwicklung: f(x) = ½ Pi - 4/Pi *[cos x / 1^2 + cos(3x) / 3^2 + cos(5x) / 5^2 + …] Für x = 0 entsteht Deine Reihe: 1/1^2 + 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + …………. = (Pi)^2 / 8. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Miro2004 (Miro2004)
Junior Mitglied Benutzername: Miro2004
Nummer des Beitrags: 11 Registriert: 03-2004
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 2004 - 13:15: |
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Hallo megamath Besten Dank für Deinen Lösunngsvorschlag. Es ist mir - mit einiger Mühe - gelungen,die Berechnungen auszuführen ! MfG Miro2004 |