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Robinhoodlol (Robinhoodlol)
Mitglied
Benutzername: Robinhoodlol
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 17:41: | 
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Hallo,
kann mir jemand bei folgender Aufgabenstellung helfen? Das man immer aus der 1. Urne die Kugeln zieht, wäre zu einfach, oder?
Aufbabenstellung:
In zwei Urnen befinden sich je 10 Kugeln. Genau eine der Kugeln ist weiß , und es sei bekannt, dass sie sich mit Wahrscheinlichkeit 2/3 in der ersten Urne befindet. Nun darf 9-mal eine Kugel gezogen werden (mit Zurücklegen in die jeweilige Urne). Welche Strategie muss man wählen, um mit größtmöglicher Wahrscheinlichkeit die weiße Kugel zufinden? Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit? Hinweis: Die möglichen Strategien bestehen darin, n Kugeln aus Urne 1 und 9-n Kugeln aus Urne 2 zu ziehen. Wobei n = 0,1,2...9 ist. |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 382
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 22:32: |
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Hi,
das wäre in der Tat zu einfach. Ich denke mal, man fängt an, aus der 1. Urne zu ziehen P(weiss in 1)=2/3 >1/2, und verfolgt, wie sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(weiss in 1| schon n nichtweisse aus 1 gezogen, keine aus 2) entwickeln. Wenn sie unter 1/2 sacken, wird aus der 2. Urne gezogen, wenn sie dann wieder über 1/2 liegen aus der ersten und so weiter. |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 883
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Mai, 2004 - 10:59: |
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Im Prinzip geht es darum, die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, das man die Kugel erwischt, wenn man n Kugeln aus der ersten zieht und 9-n aus der zweiten und diese dann für n optimiert.
P(weiss)=(2/3)*(1-(9/10)n)+(1/3)(1-(9/10)9-n)
Wenn man das nun beispielsweise mittels Excel für n=0..9 auflistet, stellt man fest, dass das Optimum bei n=8 liegt.(Wenn es Dich beruhigt Robin, ich hätte ohne Rechnung auch auf n=9 getippt) |
Robinhoodlol (Robinhoodlol)
Mitglied
Benutzername: Robinhoodlol
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Mai, 2004 - 19:51: |
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Hallo Sotux, Hallo Ingo
Vielen Dank für Eure Hilfe.
@Ingo
Dein Lösung klingt sehr plausibel und kommt meinen Ansätzen eigentlich sehr nah. Auch das Nachrechnen mit deiner Formel bringt mich zum Entschluss, dass man am besten 8 mal aus der 1. Urne zieht. Bei meinem Ansatz habe ich allerdings anstatt "1-(9/10)^n" folgendes geschrieben: "1/10^n". Dein "1-(9/10)" ist ja das gleiche wie mein 1/10. Und jetzt kommt der Punkt den ich nicht verstehe. Warum machst du die (9/10)^n und nicht die "1-(9/10)"?
Ich wünsch Euch noch einen schönen Abend.
(Beitrag nachträglich am 12., Mai. 2004 von robinhoodlol editiert) |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 885
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Mai, 2004 - 23:52: |
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Es geht ja um die Wahrscheinlichkeit mindestens einmal die weisse Kugel zu ziehen. Dazu berechnet man zunächst das Gegenereignis, nämlich, dass man ausschließlich schwarze Kugeln zieht. Dafür ist bei n Ziehungen die Wahrscheinlichkeit gerade (9/10)n. Die Wahrscheinlichkeit also mindestens einmal eine weisse zu ziehen beträgt 1-(9/10)n, vorausgesetzt es ist eine weisse Kugel unter den 10.
1/10n wäre hingegen die Wahrscheinlichkeit n mal die weisse zu ziehen. |
Robinhoodlol (Robinhoodlol)
Mitglied
Benutzername: Robinhoodlol
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Mai, 2004 - 09:53: |
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Achso...stimmt. Ich habe das "mindestens" gar nicht beachtet.
Vielen Dank für die Erklärung! |
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