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Lockere Folge 366 : Reihen R7

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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1086
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 21:17:   Beitrag drucken

Hi Leute,

ich habe eine Tolle Reihe aus meiner VL mitgebracht, die ich an dieser Stelle als lustige Aufgabe stellen möchte (Ich hoffe Megamath du bist mir nicht böse....)

Aufgabe LF 366 Reihe R7:

Man überprüfe folgende Reihe auf Summierbarkeit:

Summe[1/(n^2 +m^2)]

Summationsindex:[n=1 bis N;m=1 bis N]

viel Spaß mit der "Doppelsumme"!

PS: wie das Ergebnis lauten wird, kann man schon aus meiner Frage ableiten, aber ein hübschen kleinen Begründung möchte ich haben....

Gruß N.

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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 867
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Mai, 2004 - 09:07:   Beitrag drucken

Niels,

Die Doppelreihe

S¥ m=1 S¥ n=1 1/(m2+n2)

ist nicht summierbar. Andernfalls müsste nach dem
Grossen Umordnungssatz auch z.B. die
folgende Reihe konvergieren :

S¥ k=2 Sk-1 n=1 1/[n2+(k-n)2]

(Diagonalsummierung nach Cauchy). Nun ist

k-n < k => 1/[n2+(k-n)2] > 1/(n2+k2),

also lässt sich die innere Summe nach unten durch

(k-1)/[(k-1)2+k2] > 1/3k

abschätzen. Die Behauptung folgt aus der Divergenz
der harmonischen Reihe.








mfG Orion
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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1089
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Mai, 2004 - 14:18:   Beitrag drucken

HI Orion,

Bravo! Exakt so haben wir es auch in der VL gemacht! Genau die gleiche Abschätzung mit der harmonischen Reihe!


wunderbar- nicht war?

Gruß N.

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