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Lockere Folge LF 365 : Reihen R6

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4007
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 17:53:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Aufgabe LF 365 : Reihen R 6
Gegeben sind zwei unendliche Reihen:

Erste Reihe, Summe S1= S1(x):
S1 = 1 + sum [(-1) ^ n * 2 ^ (2n-1) * x^ (2n) / (2 n )!]
Summationsindex n = 1 ad infinitum

Zweite Reihe, Doppelreihe, Summe S2 = S2(x)
S2 = 1 + sum [ (sum [1 /{(2 n – 2 m )! (2 m )!}] * (-1)^n *x^(2n)]
Summationsindizes: m = 0 bis n, n = 1 ad infinitum.

S1(x) und S2(x) sind identisch.
Man führe durch formale Rechnung die zweite Reihe
auf die erste zurück und zeige:
für die gemeinsame Summe S gilt:
S = [ cos(x) ]^2
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1384
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 19:30:   Beitrag drucken

Hallo megamath

Zunächst zeigen wir, dass S1(x) und S2(x) identisch sind.

Dafür müssen wir offenbar zeigen, dass
Sn m=0 1/[(2n-2m)!(2m)!] = 2(2n-1)/(2n)! gilt.

Sei mit [n;k] der Binomialkoeffizient n über k bezeichnet. Dann rechnet man nach(Binomische Formel).

Sn m=0 1/[(2n-2m)!(2m)!]
=1/(2n)!*Sn m=0 [2n;2m]
=1/(2n)!*1/2*S2n m=0 [2n;m]
=22n-1/(2n)!

Hier wurde benutzt, dass
Sn m=0 [2n;2m]=Sn-1 m=0 [2n;2m+1]
gilt. Das folgt aus S2n m=0 (-1)m[2n;m] =0

S1(x) und S2(x) sind also identisch.

Bleibt noch zu zeigen, dass für die gemeinsame Summe S gilt:
S=[cos(x)]2

Dafür nimmt man sich die cosinus-Reihe und bildet das Cauchyprodukt
(S¥ n=0 (-1)n*x2n/(2n)!)*(S¥ n=0 (-1)n*x2n/(2n)!)
Man erhält dann die Reihe S2. Also
S=[cos(x)]2

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4008
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 19:47:   Beitrag drucken

Hi Christian

Das ist sehr einleuchtend und lückenlos
dargestellt!

Besten Dank für Deine Lösung.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4009
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Mai, 2004 - 20:12:   Beitrag drucken

Hi Christian

Ich führe noch eine weitere Herleitung der Summe S1 her.
Wir schreiben mit einer bekannten Formel der Goniometrie
[cos(x)]^2 = ½ + ½ cos (2x)
In der ebenfalls bekannten Cosinusreihe
cos x = sum [(-1)^n * x^(2n) / (2n) !
n = 0 ad infinitum
ersetzen wir x durch 2 x, und wir sind unmittelbar vor dem Ziel.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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