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Lockere Folge 362 : Reihen R 5

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3997
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. Mai, 2004 - 14:06:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Achtung: Mit der Aufgabe LF 362 (R 5)
ist Zeta(3) wieder aufgetaucht und
will sich unkenntlich machen durch eine geschickte
Verkleidung.
Vielleicht gelingt es, die Demaskierung ohne Beizug von
Miss Maple durchzuführen.

Erste Version der Vermummung:
M1: = 1+sum [1 / {(n^3 * (4 n^4 + 1)}], n =1 ad infinitum.

Zweite Version der Vermummung:
M2: = 9/8 +sum [4 /{(n^3 * (9n^8 +18n^6 +21n^4 +4)}], n =1 ad infinitum

MfG
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 863
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 08. Mai, 2004 - 18:35:   Beitrag drucken

Megamath,

Partialbruchzerlegung und nachfolgende quadratische
Ergänzung der Nenner ergibt für den n-ten
Summanden von M1 :

1/n3 - {2/[(2n-1)2+1] - 2/[(2n+1)2+1]}

Der Rest geht wie gehabt. Resultat :

M1 = z(3)




mfG Orion
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1375
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. Mai, 2004 - 19:16:   Beitrag drucken

Hi Orion

Könntest du mir vielleicht erklären, wie du auf die Zerlegung gekommen bist? Also auf den Teil
{2/[(2n-1)2+1] - 2/[(2n+1)2+1]}
Du hattest ja oben schon geschrieben mit Partialbruchzerlegung, aber welchen Ansatz hast du gewählt?

Vielen Dank schonmal.

MfG
C. Schmidt
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3999
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 08. Mai, 2004 - 20:08:   Beitrag drucken

Hi Orion

Die Demaskierung ist bestens gelungen!
Besten Dank.
Diese Darstellung für Zeta(3) eignet sich noch besser
für eine Näherungsrechnung des numerischen Werts.
Es kommt schon mit 9 Summanden (n=1..9)
Zeta(3) ~1.202056848 für den Tabellenwert
Zeta(3) =1,20205690…………

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 864
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 08:01:   Beitrag drucken

Christian,

Ich will f(n):= 1/[n3(2n4+1)] in Partialbrüche zerlegen.
Hintergedanke: Vielleicht bekomme ich eine
Teleskopsumme. Nun ist

4n4+1 = (2n2+2n+1)(2n2-2n+1)

=:a(n)*b(n). Nach dem Satz über Partialbruchzerlegung
gilt dann

f(n) = A/n+B/n2+C/n3+D/a(n)+E/b(n).

Der Rest ist ein wenig Fleissarbeit. Diese habe ich
natürlich an Maple delegiert
( convert(f,parfrac,n) ).
M2 geht wohl analog. Der Ausdruck in (...) im Nenner lässt sich in 2 Faktoren 4. Grades zerlegen.
Ich überlasse dir das Rechenvergnügen !





mfG Orion
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1376
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 13:22:   Beitrag drucken

Hi Orion und Megamath

Das war wirklich eine große Rechnerei bei M2, aber ich denke ich habe jetzt das richtige Ergebnis ;)

Erstmal hat man folgende Zerlegung:
9n8+18n6+21n4+4=(3n4+6n3+9n2+6n+2)(3n4-6n3+9n2-6n+2)

Partialbruchzerlegung liefert:
4/(n3(9n8+18n6+21n4+4))
=1/n3+3/4*[(2n2+2n+3)/(3n4+6n3+9n2+6n+2)-(2n2-2n+3)/(3n4-6n3+9n2-6n+2)]

Nach langer Rechnung erhält man daraus schließlich
1/n3+3/4*[(2(n+1/2)2+5/2)/(3((n+1/2)2+3/4)2-1)-(2(n-1/2)2+5/2)/(3((n-1/2)2+3/4)2-1)]
Unsere gewünschte Teleskopsumme. Damit ergibt sich dann

M2=M1=z(3)

MfG
Christian




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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 865
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 13:52:   Beitrag drucken

Hallo Christian,

Sehr gut ! Ich gebe zu, dass ich vor dieser Art von
Blut-Schweiss -und Tränen-Rechnerei immer etwas
zurückschrecke. Daher hatte ich mir die Sache so
zurechtgelegt :

Sei g(n) :=

(3/4)(2n2-2n+3)/(3n4-6n3+9n2-6n+2).

Dann prüft man leicht (!) nach, dass

g(n+1) =

(3/4)(2n2+2n+3)/(3n4+6n3+9n2+6n+2)

Bingo !

(Beitrag nachträglich am 09., Mai. 2004 von Orion editiert)
mfG Orion
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1377
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 14:16:   Beitrag drucken

Hi Orion

Mit deinem Ansatz erspart man sich nen Haufen (Rechen)Arbeit ;)
Das nächste mal weiß ich's besser :-)

MfG
Christian
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4000
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 15:50:   Beitrag drucken

Hi Christian, Hi Orion

Ich danke Euch Beiden für die instruktiven Lösungen.
Mit der Präsentation von M2 wollte ich keinen
Sisyphus-Auftrag erteilen oder Frondienste abverlangen.
Die Aufgabe lag in meinem Archiv, ganz unten in
der Schublade und stammt aus einer Zeit, als noch
keine PC- zur Verfügung standen und mühsames Rechnen
eine Selbstverständlichkeit war.

Die Darstellung mit M2 für Zeta(3) eignet sich der Struktur nach
für eine sehr gute Näherungsrechnung des numerischen Werts.
Es kommt schon mit 9 Summanden (n=1..9)
Zeta(3) ~1.20205690315266 für den Tabellenwert
Zeta(3) =1,20205690315959…………

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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