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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3997 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. Mai, 2004 - 14:06: |
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Hi allerseits Achtung: Mit der Aufgabe LF 362 (R 5) ist Zeta(3) wieder aufgetaucht und will sich unkenntlich machen durch eine geschickte Verkleidung. Vielleicht gelingt es, die Demaskierung ohne Beizug von Miss Maple durchzuführen. Erste Version der Vermummung: M1: = 1+sum [1 / {(n^3 * (4 n^4 + 1)}], n =1 ad infinitum. Zweite Version der Vermummung: M2: = 9/8 +sum [4 /{(n^3 * (9n^8 +18n^6 +21n^4 +4)}], n =1 ad infinitum MfG H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 863 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. Mai, 2004 - 18:35: |
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Megamath, Partialbruchzerlegung und nachfolgende quadratische Ergänzung der Nenner ergibt für den n-ten Summanden von M1 : 1/n3 - {2/[(2n-1)2+1] - 2/[(2n+1)2+1]} Der Rest geht wie gehabt. Resultat : M1 = z(3)
mfG Orion
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1375 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. Mai, 2004 - 19:16: |
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Hi Orion Könntest du mir vielleicht erklären, wie du auf die Zerlegung gekommen bist? Also auf den Teil {2/[(2n-1)2+1] - 2/[(2n+1)2+1]} Du hattest ja oben schon geschrieben mit Partialbruchzerlegung, aber welchen Ansatz hast du gewählt? Vielen Dank schonmal. MfG C. Schmidt |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3999 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 08. Mai, 2004 - 20:08: |
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Hi Orion Die Demaskierung ist bestens gelungen! Besten Dank. Diese Darstellung für Zeta(3) eignet sich noch besser für eine Näherungsrechnung des numerischen Werts. Es kommt schon mit 9 Summanden (n=1..9) Zeta(3) ~1.202056848 für den Tabellenwert Zeta(3) =1,20205690………… Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 864 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 08:01: |
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Christian, Ich will f(n):= 1/[n3(2n4+1)] in Partialbrüche zerlegen. Hintergedanke: Vielleicht bekomme ich eine Teleskopsumme. Nun ist 4n4+1 = (2n2+2n+1)(2n2-2n+1) =:a(n)*b(n). Nach dem Satz über Partialbruchzerlegung gilt dann f(n) = A/n+B/n2+C/n3+D/a(n)+E/b(n). Der Rest ist ein wenig Fleissarbeit. Diese habe ich natürlich an Maple delegiert ( convert(f,parfrac,n) ). M2 geht wohl analog. Der Ausdruck in (...) im Nenner lässt sich in 2 Faktoren 4. Grades zerlegen. Ich überlasse dir das Rechenvergnügen !
mfG Orion
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1376 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 13:22: |
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Hi Orion und Megamath Das war wirklich eine große Rechnerei bei M2, aber ich denke ich habe jetzt das richtige Ergebnis ;) Erstmal hat man folgende Zerlegung: 9n8+18n6+21n4+4=(3n4+6n3+9n2+6n+2)(3n4-6n3+9n2-6n+2) Partialbruchzerlegung liefert: 4/(n3(9n8+18n6+21n4+4)) =1/n3+3/4*[(2n2+2n+3)/(3n4+6n3+9n2+6n+2)-(2n2-2n+3)/(3n4-6n3+9n2-6n+2)] Nach langer Rechnung erhält man daraus schließlich 1/n3+3/4*[(2(n+1/2)2+5/2)/(3((n+1/2)2+3/4)2-1)-(2(n-1/2)2+5/2)/(3((n-1/2)2+3/4)2-1)] Unsere gewünschte Teleskopsumme. Damit ergibt sich dann M2=M1=z(3) MfG Christian
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 865 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 13:52: |
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Hallo Christian, Sehr gut ! Ich gebe zu, dass ich vor dieser Art von Blut-Schweiss -und Tränen-Rechnerei immer etwas zurückschrecke. Daher hatte ich mir die Sache so zurechtgelegt : Sei g(n) := (3/4)(2n2-2n+3)/(3n4-6n3+9n2-6n+2). Dann prüft man leicht (!) nach, dass g(n+1) = (3/4)(2n2+2n+3)/(3n4+6n3+9n2+6n+2) Bingo ! (Beitrag nachträglich am 09., Mai. 2004 von Orion editiert) mfG Orion
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1377 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 14:16: |
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Hi Orion Mit deinem Ansatz erspart man sich nen Haufen (Rechen)Arbeit ;) Das nächste mal weiß ich's besser MfG Christian |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4000 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 15:50: |
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Hi Christian, Hi Orion Ich danke Euch Beiden für die instruktiven Lösungen. Mit der Präsentation von M2 wollte ich keinen Sisyphus-Auftrag erteilen oder Frondienste abverlangen. Die Aufgabe lag in meinem Archiv, ganz unten in der Schublade und stammt aus einer Zeit, als noch keine PC- zur Verfügung standen und mühsames Rechnen eine Selbstverständlichkeit war. Die Darstellung mit M2 für Zeta(3) eignet sich der Struktur nach für eine sehr gute Näherungsrechnung des numerischen Werts. Es kommt schon mit 9 Summanden (n=1..9) Zeta(3) ~1.20205690315266 für den Tabellenwert Zeta(3) =1,20205690315959………… Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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