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Lockere Folge 360 : Reihen 3

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3992
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 14:11:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 360 (Reihen 3)

Gegeben wird die unendliche Reihe:
Z:= sum [(1 / (n ^ 2 – 1 )) * ( 1/n^3 - 1/n^5 ) ], n = 2 ad infinitum.

Man drücke Z durch Werte der Riemannschen Zeta-Funktion aus.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1373
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 14:25:   Beitrag drucken

Hallo Megamath

Ergebnis müsste z(5)-1 sein.

Soo n=2[(1 / (n ^ 2 – 1 )) * ( 1/n^3 - 1/n^5 ) ]
=Soo n=2[1/((n²-1)n³)-1/((n²-1)n5)]
=Soo n=2[1/((n²-1)n³)-1/((n²-1)n3)+1/n5]
=z(5)-1

MfG
C. Schmidt
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3993
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 14:46:   Beitrag drucken

Hi Christian

Besten Dank für die Löung; sie ist,
erwartungsgemäss, richig !

MfG
H.R.Moser,megaamth
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3994
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 14:48:   Beitrag drucken

Hihi



Zeta(3) hat sich aus dem Staub gemacht!

MfG
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 859
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 16:20:   Beitrag drucken

Hallo,

Folgende Verallgemeinerung drängt sich auf:

Für ganzzahliges n >= 0 sei

S(n) := S¥ k=2 1/[(k2-1)kn].

Man drücke S(n) für gerades n = 2m >0 durch

z(2),z(4),...,z(2m),

und für ungerades n = 2m+1 durch

z(3),z(5),...,z(2m+1)

aus.

(Beitrag nachträglich am 07., Mai. 2004 von Orion editiert)
mfG Orion
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1374
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 16:44:   Beitrag drucken

Hallo Orion

Ich würde folgendes Vorschlagen:

Bei geradem n=2m:
S(2m)=3/4+m-Sm k=1 z(2k)
Bei ungeradem n=2m+1:
S(2m+1)=1/4+m-Sm k=1 z(2k+1)

Das ergibt sich mit den Zerlegungen, die wir oben schon verwendet haben.

MfG
Christian

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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 860
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 18:14:   Beitrag drucken

Hallo Christian,

Ja, alles folgt aus der Rekursionsformel

S(n) = S(n-2) + 1 - z(n)

und den Anfangswerten S(0) = 1/2 bzw. S(1) = 1/4.
mfG Orion

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