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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3986
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 08:05: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe LF 359 (Reihen 2) treten
zwei unendliche Reihen auf, die sich äusserlich
wenig voneinander unterscheiden, im Ergebnis
jedoch wesentlich differieren.
Die erste liefert eine rationale Summe,
in der Summe der zweiten tritt Zeta(3)
als Summand auf;
Zeta (s): Riemanmsche Zetafunktion
Die Reihen lauten
S1: = sum [1 / { (n-1) * n * (n+1) }] , n = 2 ad infinitum
S1: = sum [1 / { (n-1) * n^3 * (n+1) }] , n = 2 ad infinitum
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1342
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 09:53: |
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Hi megamath,
die Summe der ersten Reihe S1 = (1/4) ??
Ich habs so gemacht:
Indexverschiebung: m = n - 1 ==> m = 1 ad infinitum:
sum[ 1/[m*(m+1)(m+2) ] m = 1 ad infinitum
Partialbruchzerlegung:
sum[ (1/2)* 1/m - 1/(m+1) + (1/2)* 1/(m+2) ]
Jetzt ersetze ich die Brüche durch das Integral e^(-tm) dt [0..inf] , vertausche Integration und Summation, berechne die Geometrischen Reihen und komme zum Integral:
int[ {e^(-t) - 2*e^(-2t) + e^(-3t)}/ {2*(1-e^(-t)} dt ] [0..inf]
Setzen wir hier e^(-t) = x
int[ (1-x)/2 dx ] [0..1]
int = (1/4)
Damit:
S1 = sum [1 / { (n-1) * n * (n+1) }] , n = 2 ad infinitum ==> (1/4)
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3987
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 10:17: |
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Hi Ferdi
Das Resultat ist richtig,die Herleitung
faszinierend!
Vielleicht hilft Dir dieses Ergebnis weiter!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 857
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 10:57: |
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Hallo megamath, ferdi :
Ich erlaube mir, folgende Variante zu präsentieren :
(1) Sn k=2 1/[(k-1)k(k+1)] =
(1/2)Sn k=2[1/(k+1)-1/k)
- (1/2)Sn k=2[1/k-1/(k-1)]
= (1/2)[1/(n+1)-1/2 - 1/n + 1]
= 1/4 - 1/[2n(n+1)].
(2) Sn k=2 1/[k3(k-1)(k+1)] =
- Sn k=2 1/k3
+(1/2)Sn k=2[1/(n-1)-2/n+1/(n+1)]
Die erste Summe strebt gegen z(3)-1, die
zweite (siehe oben) gegen 1/4. Insgesamt ergibt
sich
5/4 - z(3)
wie übrigens auch Miss Marple bestätigt.
mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1343
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 11:29: |
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Hi Orion,
auch eine hübsche Methode bei 1.)
Bei 2.) muss ich zugeben, wäre ich nicht auf diese Zerlegung gekommen! Steckt da ein Muster hinter, oder war das mal wieder scharfes Hinsehen?
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3988
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 11:43: |
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Hi allerseits
Es folgt eine schnelle Herleitung der Summe S1:
Wir zerlegen den Bruch
B:= 1 / { (n-1) * n * (n+1) } in Partialbrüche.
Es ist
B = ½ {1 / (n-1) – 2 / n +1 / (n+1)}
= ½ {1/ (n - 1) – 1/ n } - ½ {1/ n – 1/ (n + 1)}
Nun summieren wir der Reihe nach die Terme in den
beiden geschweiften Klammern für n=2 ad infinitum
Es stellt sich ein Teleskopeffekt ein!
Resultat:
S1 = ½ * 1 - ½ * ½ = ¼
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3989
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 12:06: |
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Hi Ferdi
Wir schauen grundsätzlich scharf hin!
Es handelte sich hier darum, den eingeklemmten Term
1/n^3 im Bruch („eingeklemmter Bruch“) zu befreien,
damit Zeta(3) zur Wirkung kommt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3990
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 12:35: |
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Hi allerseits
Ich möchte noch auf einen Nebenzweck der Reihe
S2: = sum [1 / { (n-1) * n^3 * (n+1) }] , n = 2 ad infinitum
mit S2 = 5/4 – Zeta(3) als Resultat hinweisen.
Da die Reihe rascher konvergiert als die Reihe
sum [ 1/ n^3] , n=1 ad infinitum,
lassen sich gute Näherungen füt Zeta(3) finden.
Zum Beispiel erhalten wir mit Hilfe der legendären Miss Marple
für n = 9 aus
N:= 5/4 - sum [1 / { (n-1) * n^3 * (n+1) }] , n = 2 bis n = 9
den Wert N =1923(!)7016539 / 16003008000 ~ 1.202087541
Bravo!
Offizieller Wert von Zeta(3):
die Dezimalbruchentwicklung beginnt so:
1,2020569031
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 858
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 14:03: |
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Hallo Ferdi,
Zu deiner Frage betr. 2.) zitiere ich G.Polya aus dem
Vorwort zu
"Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis" :
"Ein Gedanke, den man einmal anwendet, ist ein
Kunstgriff. Wendet man ihn zweimal an, so wird er
zur Methode."
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3991
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 14:08: |
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Hi Orion
Ein herrliches Werk!
Ich nehme an,dass Du die meisten Aufgaben
daraus schon gelöst hast.
MfG
H.R.moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1344
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 14:11: |
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Hi,
besten Dank euch beiden. Ich glaube ich habe verstanden...
mfg |
