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Lockere Folge 359 : Reihen 2

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3986
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 08:05:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 359 (Reihen 2) treten
zwei unendliche Reihen auf, die sich äusserlich
wenig voneinander unterscheiden, im Ergebnis
jedoch wesentlich differieren.

Die erste liefert eine rationale Summe,
in der Summe der zweiten tritt Zeta(3)
als Summand auf;
Zeta (s): Riemanmsche Zetafunktion

Die Reihen lauten

S1: = sum [1 / { (n-1) * n * (n+1) }] , n = 2 ad infinitum
S1: = sum [1 / { (n-1) * n^3 * (n+1) }] , n = 2 ad infinitum

MfG
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1342
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 09:53:   Beitrag drucken

Hi megamath,

die Summe der ersten Reihe S1 = (1/4) ??

Ich habs so gemacht:

Indexverschiebung: m = n - 1 ==> m = 1 ad infinitum:

sum[ 1/[m*(m+1)(m+2) ] m = 1 ad infinitum

Partialbruchzerlegung:

sum[ (1/2)* 1/m - 1/(m+1) + (1/2)* 1/(m+2) ]

Jetzt ersetze ich die Brüche durch das Integral e^(-tm) dt [0..inf] , vertausche Integration und Summation, berechne die Geometrischen Reihen und komme zum Integral:

int[ {e^(-t) - 2*e^(-2t) + e^(-3t)}/ {2*(1-e^(-t)} dt ] [0..inf]

Setzen wir hier e^(-t) = x

int[ (1-x)/2 dx ] [0..1]
int = (1/4)

Damit:
S1 = sum [1 / { (n-1) * n * (n+1) }] , n = 2 ad infinitum ==> (1/4)

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3987
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 10:17:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Das Resultat ist richtig,die Herleitung
faszinierend!
Vielleicht hilft Dir dieses Ergebnis weiter!

MfG
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 857
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 10:57:   Beitrag drucken

Hallo megamath, ferdi :

Ich erlaube mir, folgende Variante zu präsentieren :

(1) Sn k=2 1/[(k-1)k(k+1)] =

(1/2)Sn k=2[1/(k+1)-1/k)

- (1/2)Sn k=2[1/k-1/(k-1)]

= (1/2)[1/(n+1)-1/2 - 1/n + 1]

= 1/4 - 1/[2n(n+1)].


(2) Sn k=2 1/[k3(k-1)(k+1)] =

- Sn k=2 1/k3

+(1/2)Sn k=2[1/(n-1)-2/n+1/(n+1)]

Die erste Summe strebt gegen z(3)-1, die
zweite (siehe oben) gegen 1/4. Insgesamt ergibt
sich

5/4 - z(3)

wie übrigens auch Miss Marple bestätigt.


mfG Orion
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1343
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 11:29:   Beitrag drucken

Hi Orion,

auch eine hübsche Methode bei 1.)

Bei 2.) muss ich zugeben, wäre ich nicht auf diese Zerlegung gekommen! Steckt da ein Muster hinter, oder war das mal wieder scharfes Hinsehen?

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3988
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 11:43:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Es folgt eine schnelle Herleitung der Summe S1:
Wir zerlegen den Bruch
B:= 1 / { (n-1) * n * (n+1) } in Partialbrüche.
Es ist
B = ½ {1 / (n-1) – 2 / n +1 / (n+1)}
= ½ {1/ (n - 1) – 1/ n } - ½ {1/ n – 1/ (n + 1)}
Nun summieren wir der Reihe nach die Terme in den
beiden geschweiften Klammern für n=2 ad infinitum
Es stellt sich ein Teleskopeffekt ein!
Resultat:
S1 = ½ * 1 - ½ * ½ = ¼

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3989
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 12:06:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Wir schauen grundsätzlich scharf hin!
Es handelte sich hier darum, den eingeklemmten Term
1/n^3 im Bruch („eingeklemmter Bruch“) zu befreien,
damit Zeta(3) zur Wirkung kommt.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3990
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 12:35:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Ich möchte noch auf einen Nebenzweck der Reihe
S2: = sum [1 / { (n-1) * n^3 * (n+1) }] , n = 2 ad infinitum
mit S2 = 5/4 – Zeta(3) als Resultat hinweisen.

Da die Reihe rascher konvergiert als die Reihe
sum [ 1/ n^3] , n=1 ad infinitum,
lassen sich gute Näherungen füt Zeta(3) finden.
Zum Beispiel erhalten wir mit Hilfe der legendären Miss Marple
für n = 9 aus
N:= 5/4 - sum [1 / { (n-1) * n^3 * (n+1) }] , n = 2 bis n = 9
den Wert N =1923(!)7016539 / 16003008000 ~ 1.202087541
Bravo!
Offizieller Wert von Zeta(3):
die Dezimalbruchentwicklung beginnt so:
1,2020569031

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 858
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Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 14:03:   Beitrag drucken

Hallo Ferdi,

Zu deiner Frage betr. 2.) zitiere ich G.Polya aus dem
Vorwort zu
"Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis" :

"Ein Gedanke, den man einmal anwendet, ist ein
Kunstgriff. Wendet man ihn zweimal an, so wird er
zur Methode."

mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Nummer des Beitrags: 3991
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 14:08:   Beitrag drucken

Hi Orion



Ein herrliches Werk!
Ich nehme an,dass Du die meisten Aufgaben
daraus schon gelöst hast.

MfG
H.R.moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1344
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 07. Mai, 2004 - 14:11:   Beitrag drucken

Hi,

besten Dank euch beiden. Ich glaube ich habe verstanden...

mfg

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