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Ringhomomorphismus, Ideale

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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1368
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 01. Mai, 2004 - 18:08:   Beitrag drucken

Hallo!

Kann mir jemand folgendes beweisen?:
Sei R ein kommutativer Ring mit 1R¹0.
Ist S ein kommutativer Ring und j¹0 ein Homomorphismus R->S, so ist j injektiv.
Daraus folgt:
{0} ist maximales Ideal in R.

MfG
C. Schmidt
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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1071
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 01. Mai, 2004 - 21:57:   Beitrag drucken

Hi Christian,

das ist eine sehr hübsche Aufgabe, so etwas machen wir derzeit in LA II.

Was verstehst du daran nicht? Was ein "Ideal" ist sollte bekannt sein und ein "Ringhomomorphismus" ist im Prinzip nix weiteres als eine Lineare Abbildung zwischen Ringen.

Schon mal was vom "Kern einer linearen Abbildung" gehört? was ist den mit dem wohl los, wenn die Abbildung injektiv ist???:-)

Achja, schonmal was von einem "Modul" gehört?

Gruß N.
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1369
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Mai, 2004 - 11:06:   Beitrag drucken

Hi Niels

Also ich hab bis auf die Sache mit den Moduln schon alles gehört. Die Aufgabe ist übrigens auch aus LA II.

Schon mal was vom "Kern einer linearen Abbildung" gehört? was ist den mit dem wohl los, wenn die Abbildung injektiv ist???:-)


Also der Kern ist ja dann {0}. Ich müsste für die Aufgabe aber noch beweisen, dass es zu jedem Ideal einen Homomorphismus gibt, so dass das Ideal der Kern ist. Und das schaffe ich irgendwie nicht ;)

MfG
C. Schmidt
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1659
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Mai, 2004 - 12:17:   Beitrag drucken

Hallo Christian,
nimm an, dass es ein Ideal I ungleich {0} gibt. Betrachte den Ring S = R/I und den Homomorphismus f(x) = x + I. Für alle x aus I ist dann f(x) = I. Also ist f nicht injektiv. Somit ist f der Nullhomomorphismus, d. h. R = I.

Z.
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1660
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Mai, 2004 - 12:18:   Beitrag drucken

... für das f ist Kern f = I
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1370
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Mai, 2004 - 12:58:   Beitrag drucken

Vielen Dank :-)

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