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Satz von Arzela- Ascoli

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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1045
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 18:48:   Beitrag drucken

Hallo liebe Comunity,

es geht mal wieder um zwei Übungsaufgaben auf einem Zettel....

Zettel siehe hier:

application/pdfÜ2
Blatt_02.pdf (26.2 k)


Es geht um Aufgabe 7 und 8 alles angeblich Anwendungen des Satzes von Arzela- Ascoli

D.h angeblich ist 7)a)-c) mit der Anwendung des Satzes von Arzela Ascoli so gut wie trivial- das sehe ich nur nicht- habe irgendwie Tomaten auf den Augen....

Bei 7d) greift Arzela Ascoli angeblich nicht (Wieso???) und wie rechen ich dann die Gleichgradige Stetigkeit "zu Fuß" nach?

und zu 8) habe ich absolut keinen Plan- noch nicht einmal einen Ansatz- bitte um Hilfe...

Danke im Voraus!

Gruß N.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1057
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 14:48:   Beitrag drucken

Hallo nochmal,

wenn ich schon auf das "Riesengeschütz" Arzela Ascoli hinweise, sollte ich vieleicht auch sagen was ich unter Arzela Ascoli verstehe...

Satz von Arzela Ascoli:

(X,dX) kompakt, (Y,dy) vollständig metrische Räume, dann sind äquivalent:

(1)

Der Abschluß von g ist kompakte Teimenge von C(x,Y),d¥) (g ist relativ Komapkt)

(2)
(a) g ist gleichgradig stetig auf X (also gleichmäßig gleichgradig stetig)

(b) für alle x aus X ist g(x):={f(x)|f aus g) relativ kompakt

mit der Kanone soll nun auf "Spatzen" geschossen werden...
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1059
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 13:43:   Beitrag drucken

Hat niemand eine Idee wie ich Arzela- Ascoli ins spiel bringen kann???

Zumindes bei Aufgabe 7)....

Bei Aufgabe 8) soll die geschicht in einer "Origie von Dreiecksungleichungen nach unten" enden....aber mir fehlt da soweiso der richtige Ansatz...

bitte um Hilfe!
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1064
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Montag, den 26. April, 2004 - 16:50:   Beitrag drucken

So, habe Neuigkeiten zu Aufgabe 7)

a)ich weis, das die Funktion fn:[0,1]->IR
x->x^n in C(([0,1],IR),d¥) eine Folge bildet, die keine konvergente Teilfolge besitzt. also nicht "folgenkompakt" und damit nicht kompakt ist. Ich soll nun zeigen das Diese Menge "Skript F" in 7a) nicht relativ kompakt ist, d.h das der Abschluß von "skript F" nicht kompakt ist.

Nun spielen wir mal rum....

(1)<=>(2a) und (2b)
nicht(1)<=>nicht (2a) oder nicht (2b)

nicht(1) ist falsch,
nicht(2b) ist richtig

dann muss (2a) falsch sein, d.h bei 7a) liegt keien gleichgradeige Stetigkeit vor....

Wie das bei den anderen Aussieht weis ich nicht....

wäre schön, wenn sich noch jemand von euch damit beschäftigen könnte....

vielen Dank!

Gruß N.
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1654
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 26. April, 2004 - 22:42:   Beitrag drucken

Hallo Niels,
bei Aufgabe 7 geht es m. E. allein darum, die Begriffe der Vorlesung und die Aussage des Satzes von AA zu rekapitulieren und zu verstehen. Ein Trick ist nicht dabei. Deshalb möchte ich dazu auch gar nichts weiter schreiben, weil dir das auch nicht viel bringen würde. Hausübungen sind ja eigentlich nicht zum Ärgern der Studenten sondern zur Vertiefung des Stoffes da. Mein Vorschlag: schreib bis Mitte der Woche auf, was dir selbst dazu eingefallen ist, und dann sehen wir weiter...

Gruß
Z.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1065
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 27. April, 2004 - 14:52:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

könntest du nicht wenigstens ein etwas "verständlichen Hinweis" geben, als die ich hier publiziert habe und von meinem Hiwi stammen?

Beispielsweise:

1) Wie Prüfe ich ab ob der Abschluß der Mengen "skript F" kompakt ist, also relativ kompakt ist? Da "skript F" eine Famillie von Funktionen ist, sollte ich wohl am besten die Funktionenefolge auf Folgenkompaktheit untersuchen, d.h jede Funktionenfolge eine konvergente Teilfolge besitzt oder?

"Was ist eigentlich das g aus Bedingung 2b von AA. bei meinen "Skript F" ?

könntest du nicht mal eine Aufgabe von 7 exemplareisch rechnen, vielleicht verstehe ich ja dann alles und kann den Rest von 7 selber?

ich verstehe auch nicht, wieso bei 7a)-7c) AA funktioniert und ausgerechnet bei 7d) AA. nicht greifen soll?

Bei 8) soll man auch irgendetwas mit Injektivität zeigen können...."nichts genaues weis man nicht". In der VL ist der Stoff meistens viel zu schnell abgehandelt, das man ihn von anhieb nicht immer gleich versteht- und leider werden bei uns in der Übung keinerlei Beispiele gerechnet, so das man wenigstens wüßte wie man an diese "Hausarbeiten" rangeht....

Ich wäre für HInweise zu den Aufgaben wie immer Dankbar....besonders dir Zaph....

mfg

Niels
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1656
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 27. April, 2004 - 23:56:   Beitrag drucken

Hi Niels,

würde sagen, dass hier g = F zu nehmen ist.

Du hast doch oben schon bemerkt, dass die Folge x^n aus (a) in C(X,IR) nicht konvergent ist. Also (!) ist F nicht relativ folgenkompakt.

Außerdem: Was sind denn g(x) = {f(x) | f aus g} für Mengen? Was haben die für Eigenschaften?

Wenn du das beantworten kannst, siehst du, was bei (d) anders ist.

Aufg. 8 muss ich mir selbst erst mal in Ruhe ankucken ...

Z.

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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1067
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. April, 2004 - 07:45:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

wenn ich g=F setze, so ist doch
g(x):={f(x)|f aus F} damit wäre die Menge g(x) in (2b) auch nicht relativ kompakt oder?



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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1069
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. April, 2004 - 20:45:   Beitrag drucken

was ist los Leute,

habt ihr genauso wenig einen Plan von den Aufgaben wie ich???

N.
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1658
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. April, 2004 - 21:07:   Beitrag drucken

Genau, deshalb kannst du den Satz nicht anwenden. Denn die Voraussetzung ist nicht erfüllt.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1070
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. April, 2004 - 22:00:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

das verstehe ich mal wieder nicht....

Bei welchen Aufgaben kann ich Arzela Ascoli Anwenden und wo bzw. wann nicht?
ich würde in jeder der 7 Teilaufgaben die gleiche Definition g=F vornehmen und losrechnen wollen...

Wie sieht es mit Aufgabe 8 aus?
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1076
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 09. Mai, 2004 - 20:10:   Beitrag drucken

Hi Leute,

so ich habe folgenden Beweis zu überprüfen- das der Beweis den ich hier präsentiere ist klar- die Frage für mich ist nur "Wo steckt der Bock"?-

Voraussetzung:

Sei C0(IN){f: N->IR|lim (n->¥})f(n)=0} der Raum der Nullfolgen ausgestattet der
d¥ Metrik.

Beh: Die abgeschlossenen Einheitskugel
Kc0(N)(0,1) kompakt.

Beweis:

C0(IN) lässt sich als abgeschlossener Teilraum von C(IN(quer),IR)[IN(quer) kompaktifizierung von IN: IN(quer):=IN vereinigt mit {¥}, IN(quer) mit der von IR(quer) induzierten Metrik ist metrischer Raum.]
d.h mann könnte versuchen Arzela Ascoli anzuwerfen:

Für jedes n aus IN gilt K(n):={f(n)|f aus K} Teilmenge von [-1,1] und damit kompakt, also Voraussetzung von Arzela Ascoli erfüllt.

K ist in jedem n aus IN gleichgradig stetig. Also ist K nach Arzela Ascoli relativ kompakt. Da K aber als abgeschlossen vorausgesetzt wurde ist K sogar kompakt.

Wo steckt der Fehler in diesem Beweis?

bitte um vorschläge....

Gruß N.

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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1080
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Montag, den 10. Mai, 2004 - 22:13:   Beitrag drucken

Na, hat niemand eine Ahnung was falsch sein könnte?

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