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Beitrag |
    
Manfred (Manfred)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: Manfred
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 17:35: | 
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Gilt die Umformung ea·b = (ea)b im Komplexen nicht mehr?
Ansonsten wäre nämlich {e2pi·t = (e2pi)t = 1t = 1 für alle t,
und das stimmt ja wohl nicht. Aber wo steckt der Fehler?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Manfred |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 859
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 23:44: |
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Gegenfrage: Was verstehst Du unter (1+i)i ?
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Brainchild (Brainchild)
Junior Mitglied
Benutzername: Brainchild
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 02:16: |
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Hallo Manfred,
exp(2*Pi*i*t) ist eine Darstellung einer komplexen Zahl, sie heißt Polardarstellung der Komplexen Zahlen.
Es gilt:
exp(i*a)=cos(a)+i*sin(a)
demzufolge gilt:
exp(2*Pi*i*t)=cos(2*Pi*t)+i*sin(2*Pi*t)
und:
exp(2*Pi*i)^t=[cos(2*Pi)+i*sin(2*Pi)]^t
= 1 , für alle t
Zu der Polardarstellung der komplexen Zahlen findest du in fast jedem Analysisbuch einen kurzen Abriss
Gruß
P.S.: (1+i)^i=exp(i*log(1+i))=0.4288290063+0.1548717525*i, in der geschlitzten komplexen Ebene betrachtet. ;)
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Administrator (Administrator)
Neues Mitglied
Benutzername: Administrator
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 04-2004
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 10:26: |
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Als Administrator bestehe ich auf den ausführlicheren Erklärungen.
(1+i)^i=exp(i*ln(1+i))=Faden verloren=0.4288290063+0.1548717525*i
Gruß
Administrator
Anmerkung ZahlReich-Technik: "Administrator" ist kein Administrator dieses Forums, der Account wurde gesperrt, bitte unter neutralem Namen anmelden. |
Manfred (Manfred)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Manfred
Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 13:52: |
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Mir ist klar, daß es mit komplexen Exponenten Probleme gibt. Auf das will wahrscheinlich auch der Administrator hinweisen:
Während man beim Logarithmus an sich mit den Mehrdeutigkeiten der 2p·i-Periodizität leben kann -
ln (1+i) = ln (Ö2) + i·(p/4 + k·2p)
mit k = 0, ±1, ±2, ...
- kommt es bei dieser Umformung zu deutlich unangenehmeren Mehrdeutigkeiten:
i·ln(1+i) = i·ln (Ö2) - (p/4 + k·2p)
Þ (1+i)^i "=" e-p/4 - k·2p·exp(i·ln (Ö2))
Trotzdem wundert es mich, daß ich anscheinend gleich das alte Gesetz ea·b = (ea)b aufgeben muß, zumal b (t in meinem Beispiel) ja durchaus noch reellwertig wäre...
Schöne Grüße,
Manfred |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1099
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 17:25: |
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Hallo alle,
die Frage von Manfred ist hochinteressant und wurde bis jetzt von allen bis jetzt Antwortenden kaum zufriedenstellend geklärt (im Moment kann ich es selbst auch nicht ausreichend).
Die Antwort von Ingo geht m.E. überhaupt daran vorbei, denn er beantwortet eine Frage mit einer Gegenfrage, die das Problem auch nicht durchsichtiger macht, oder irre ich mich? Die Meinung von Ingo dazu wäre sicher nicht ganz uninteressant.
Bei allen Erweiterungen eines Zahlenkörpers gilt das Prinzip der Permanenz der formalen Rechengesetze, und es ist somit nicht einzusehen, dass e^(a·b) = (e^a)^b zunächst nicht gelten sollte.
Der "Fehler" dürfte in der Mehrwertigkeit von arg(z) liegen, soviel ist klar.
Gr
mYthos
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Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 860
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. April, 2004 - 13:31: |
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@Mythos:
Ich habe aus zwei Gründen eine Gegenfrage gestellt. Zum einen sind mir weder in der Schulzeit, noch im Studium Komplexe Exponenten vorgekommen, außer halt im Zusammenhang mit der E-Funktion. De facto ist aber der Ausdruck (ea)b nichts anderes als ein Ausdruck mit Komplexen Exponenten. Beispielsweise ist
ii = (eip/2)i
Daher wäre nicht uninteressant zu wissen, ob so etwas in dem Zusammenhang angesprochen wurde.
Zum zweiten gehe ich die Mathematik meistens mit einer gewissen Vorstellung an. Ich versuche mir unter den Gegebenheiten etwas vorzustellen, um so einen eventuellen Beweise oder halt auch ein Gegenbeispiel, besser begreifen zu können. Blosses auswendig lernen und anwenden von Formeln ist nicht so mein Fall. Deshalb war ich davon Ausgegangen, dass die Darstellung als Komplexe Exponenten vielleicht hilfreich sein könnte bei der Auffindung des Problems. Reelle Exponenten kann man sich ja wunderbar als stetige Fortsetzung der rationalen vorstellen, welche wiederum mit Wurzeln veranschaulicht werden.
Und die Multiplikation von Komplexen Zahlen durch Addition der Winkel und Multiplikation der Längen ist auch eine ziemlich anschauliche Darstellung. Warum sollte das bei komplexen Exponenten nicht auch gehen? Ich wollte Manfred zum nachdenken darüber anregen, mehr nicht. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 1107
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. April, 2004 - 09:16: |
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@Ingo
Danke, habe verstanden, und ich stimme da mit dir überein.
Die Lösung bzw. Erklärung des von Manfred vorgelegten Problemes steht allerdings noch weiter aus und ist eventuell in dieser Richtung weiterzuführen.
Gr
mYthos
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Brainchild (Brainchild)
Junior Mitglied
Benutzername: Brainchild
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 12-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. April, 2004 - 11:13: |
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Hallo zusammen,
ich versuche mal den ersten Teil einer Erklärung zu liefern, der zweite folgt dann später (da er wesentlich länger ist).
1.Teil:
Im folgenden bezeichne R die reellen Zahlen und C die komplexen Zahlen.
In R gilt wie schon oft erwähnt, dass (exp(a))^b=exp(a*b). Der Beweis dazu geht wie folgt:
Seien a,b€R, dann gilt:
[exp(a)]^b
=exp[b*log{exp(a)}] <- nach Def. (1)
=exp[b*a] <- *) (2)
=exp(a*b) <- da R Körper (3)
[*):da exp(a)>0 für alle a€R
und log(exp(.))=Id(.)]
Somit gilt im reellen [exp(a)]^b=exp(a*b).
Wenn wir nun zu dem Köper C übergehen, könnte man meinen den Beweis analog führen zu können.
dabei tritt allerdings ein "Problem" in Schritt (2)auf.Es liegt darin, dass man zunächst nicht weiß wie man einen(!) Logarithmus im Komplexen definieren soll und welche Eigenschaften er haben wird (z.B. ist er eindeutig?)
Hier hilft aber die Funktionentheorie weiter.
(2.Teil kommt, wenn ich es schaffe, morgen)
Gruß |
