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Taylorformel

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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1366
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 12:02:   Beitrag drucken

Hallo!

Hab mal eine Frage zu folgendem Beweis:

Taylorformel:
Die Funktion f: I->R sei (n+1)-mal auf dem offenen Intervall I differenzierbar. Sind a,x€I, so existiert ein (von x und a abhängiges) c mit a£c£x (oder x£c£a), sodaß

f(x)=Sn i=0 f(i)(a)/i!*(x-a)i+(x-a)n+1/(n+1)!*f(n+1)(c).

Beweis mit Induktion.
Der Fall n=0 ist der Mittelwertsatz und stimmt daher.

n-1 => n: O.B.d.A. sei a<x. Sei d€R und g:I->R definiert durch

g(t)=f(x)-Sn i=0 f(i)(t)/i!*(x-t)i-(x-t)n+1/(n+1)!*d
Dabei wählt man d so, dass g(a)=0 ist. Offenbar g(x)=f(x)-f(x)=0.
Der Mittelwertsatz auf g angewendet liefert ein a<c<x mit g'(c)=0.
Leitet man g ab, erhält man dann mit g'(c)=0, dass d=f(n+1)(c) gelten muss, woraus die Behauptung folgt.

Meine Frage ist jetzt, wo in dem Beweis überhaupt die Induktionsvoraussetzung benutzt wurde? Hätte man nicht auch direkt die Funktion g so wie oben definieren und daraus alles folgern können?

MfG
C. Schmidt

(Beitrag nachträglich am 23., April. 2004 von Christian_s editiert)
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Orion (Orion)
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Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 840
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 14:24:   Beitrag drucken

Christian,

Ich sehe das auch so: es liegt kein Induktionsbeweis
vor.
mfG Orion
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1367
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 10:41:   Beitrag drucken

Vielen Dank für die Bestätigung. Kam mir irgendwie sehr komisch vor der Beweis.

MfG
C. Schmidt

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