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Stetigkeit Cauchy Folgen treuer Funkt...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Stetigkeit » Stetigkeit Cauchy Folgen treuer Funktionen « Zurück Vor »

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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1016
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Veröffentlicht am Sonntag, den 18. April, 2004 - 11:04:   Beitrag drucken

Hallo liebe Comunity,

eine Cauchy Folgen treue Funktion ist eine Funktion die Cauchy Folgen auf Cauchy Folgen abbildet.

Man beweise oder wiederlege:

(a) Jede Cauchy Folgen treue Funktion ist stetig.
(b) bilden Cauchy Folgen treue Funktionen beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen ab?

vielen Dank für eue Bemühungen im Voraus!

mfg

Niels
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1019
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 23:04:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

vieleicht fällt dir hierzu auch noch eine Lösung ein....

mfg

Niels
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1618
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 21:18:   Beitrag drucken

a) stimmt! Es sei f Cauchy-treu. Es gilt ja:

f stetig <=> für jede konvergente Folge (xn) gilt lim f(xn) = f(lim xn)

Sei also (xn) Folge und x = lim xn.

Betrachte Folge die (yk) mit y2n = xn und y2n+1 = x.

(yk) ist Cauchy-Folge!

Nach Voraussetzung ist also (f(yk)) eine Cauchy-Folge.

Zeige jetzt nur noch, dass lim f(yk) = x.

b) stimmt nicht! Betrachte f(x) = 1/x auf (0,1)
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1029
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 18:26:   Beitrag drucken

Hallo Zaph,

ich komme mir langsam etwas doof vor, und es wird langsam etwas peinlich für mich, aber ich hätte da noch ein paar Fragen....

(1) gut, das kreterium für Folgenstetigkeit ist klar, aber was hast du dann gemacht??? die Folge (Xn) gemacht?? in Teilfolgen zerlegt? oder wie kommst du nun auf die y Folge oder besser die y Teilfolge??....verstehe ich leider nicht- bischen genauer...und Punkt b mit der Beschränktheit verstehe ich auch nicht..
mit (0,1) meinst du doch das offene Intervall (0,1) und wenn ich 1/x darauf loslasse dann ist doch f(x) auch eine offene Menge???
Oder galt war die Stetigkeit als "Urbilder offener Mengen sind offen" nur für Urbilder immer definiert und nicht für Bilder....

vielen Dank für deine Bemühungen- ich bin aber im Moment etwas verwirrt.....

mfg

Niels
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1625
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 19:46:   Beitrag drucken

Kann passieren ;-)

Also, wenn x0, x1, x2, x3, x4,... die Ausgangsfolge mit lim xn = x ist, dann wird die Folge yn gebildet durch

y0, y1, y2, y3, y4, y5, y6 ... = x0, x, x1, x, x2, x, x3 ...

Die x-Folge ist also Teilfolge der y-Folge.

zu b) Das war Quatsch, was ich geschrieben habe. Denn f(x) = 1/x ist nich CF-treu.

Die Aussage ist dennoch falsch. Gegenbeispiel folgt, wenn wir das Gegenbeispiel im anderen Thread haben ;-)
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1031
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 22:24:   Beitrag drucken

Tsss,

gut, nun ist also x eine Teilfolge von Y und wie kommt nun das Folgenstetigkeitskriterium in Spiel???

zu b) das will ich doch meinen:

den f(x)=1/x bildet die Cauchy Folge (1/n) nicht auf die Folge n ab, die niemals Cauchy ist....

Soweit bin ich schonmal....

bis morgen....

Gruß N.
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1627
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 21. April, 2004 - 23:44:   Beitrag drucken

Na, wie ich oben schon sagte:

Zeige zunächst, dass (yk) eine Cauchy-Folge ist!

Nach Voraussetzung ist dann also (f(yk)) eine Cauchy-Folge.

Zeige jetzt noch, dass lim f(yk) = f(x). (Sorry, oben war ein f zu wenig!)

Dann gilt doch erst recht lim f(xk) = f(x).

q.e.d.
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1358
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 11:33:   Beitrag drucken

Hi Niels, hi Zaph

Hab mal den Beweis komplett aufgeschrieben mit allen Schritten:

Sei (xn) Folge mit lim xn=x

Betrachte die Folge (yk).

(yk) ist Cauchyfolge:
Sei
|xm-xn|<e für n,m³N1
|xn-x|<e für n³N2
Setze N=max{N1,N2}

Dann gilt offensichtlich
|yp-yq|<e für p,q³2N.
Also ist (yk) Cauchyfolge und nach Voraussetzung auch (f(yk)).
D.h. es gilt
|f(yp)-f(yq)|<e für p,q³N mit geeignetem N.
Dann gilt aber insbesondere
|f(yp)-f(x)|<e für p³N.
Also lim f(yk) = f(x).
Damit natürlich auch lim f(xn)=f(x)

Also lim f(xn)=f(x)=f(lim xn) und f ist stetig.

So war das doch gemeint, oder?

Und bei b) finde ich genauso wenig ein Gegenbeispiel wie in dem anderen Thread ;)

MfG
C. Schmidt
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1359
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 12:32:   Beitrag drucken

Ich glaube ich hab doch ein Gegenbeispiel gefunden.

Betrachte die Funktion f: ]0,2] -> R, x->ln(x).

Wegen der Vollständigkeit von R konvergiert jede Cauchyfolge.
Sei (xn) Cauchyfolge. Dann gilt auf jeden Fall schonmal |xm/xn-1|<e für m,n³N mit geeignetem N.
Da ln(1)=0 gilt und ln stetig ist, existiert auch ein N mit
|ln(xm)-ln(xn)|=ln(xm/xn)|<e für m,n³N. Also ist ln Cauchyfolgentreu und bildet ]0,2] ab auch ]-¥,ln(2)]

MfG
C. Schmidt
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1360
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 12:57:   Beitrag drucken

Mein Gegenbeispiel ist doch kein Gegenbeispiel :-(

Die ganze Sache funktioniert nicht bei Cauchyfolgen, die gegen 0 konvergieren.

MfG
C. Schmidt
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1361
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 17:20:   Beitrag drucken

Hab noch ein bisschen weitergerechnet bei der Aufgabe, aber ich finde einfach kein Gegenbeispiel. Mir ist auch folgendes aufgefallen:
Angenommen wir haben eine CF-treue Funktion f:X->R, wobei X Teilmenge von R ist. Jetzt ist ja f stetig und X sei beschränkt.
Angenommen f(X) wäre unbeschränkt. Dann muss es ja einen Häufungspunkt a von X geben, so dass lim(x->a)f(x)=¥ gilt(evtl. muss man beim Grenzwert noch den rechts- oder linksseitigen nehmen. Der Fall -¥ könnte auch vorkommen, geht aber analog).
Dann können wir aber auch eine Folge (xn) konstruieren mit lim xn=a und lim f(xn)=¥. Da aber (xn) konvergiert und somit Cauchyfolge ist, müsste (f(xn)) als Cauchyfolge in R konvergieren, tut sie aber nicht. Also muss f(X) beschränkt sein.

Also brauchen wir doch schonmal keine reellwertigen Funktionen als Gegenbeispiel auszuprobieren, oder?

MfG
C. Schmidt
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1629
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 17:49:   Beitrag drucken

Well done, Christian!

Sowohl die Vervollständigung des Beweises als auch die letzte Erkenntnis. Zumindest müssen wir uns von der "normalen" Metrik verabschieden.

Z.
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1034
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 18:11:   Beitrag drucken

dann bleibt ja vieleicht nur die diskrete Metrik üßbrig....
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1035
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 18:15:   Beitrag drucken

Übrigens, kennst jemand ein Beispiel für eine CF treue Funktion???

d.h eine Funktion die CF treu ist (also stetig ist) aber nicht gleichmäßig stetig ist???

Gruß N.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1036
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 18:20:   Beitrag drucken

So zum Background- warum ich diese "dummen Fragen" stelle:

application/pdfÜbungszettel
blatt_13n.pdf (28.7 k)


wie ihr seht entstammen meine Fragen der Aufgabenstellung Nr. 56....

ich bin gerade dabei meine Analysis I dinge zu ordnen und mir fehlen dazu noch einige Beweise und Lösungen von Übungsaufgaben....

Diese Frage bezieht sich also auf alte Sachen wärend der ander Thread sich auf eine Aktuelle serie bezieht....
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1037
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 18:26:   Beitrag drucken

Aus dem Punkt (e)folgt meine folgende Anname:

"Die CAUCHY Folgen Treuen Funktionen bilden einen Ring"

ist das richtig oder Falsch???

Gruß N.
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1363
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 18:48:   Beitrag drucken

dann bleibt ja vieleicht nur die diskrete Metrik üßbrig....


Würde ich nicht sagen. Bei der diskreten Metrik gibts ja keine unbeschränkten Mengen.

MfG
C. Schmidt
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1633
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 19:51:   Beitrag drucken

Na gut, hier ist die Auflösung.

Setze X = (IR,d) mit d = diskrete Metrik und Y = (IR,e) mit e(x,y) = |x - y|.

Definiere weiter f: X -> Y durch f(x) = x.

Dann ist f CF-treu, X ist beschränkt, Y ist unbeschränkt und f[X] = Y.
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Christian_s (Christian_s)
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Nummer des Beitrags: 1365
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. April, 2004 - 21:22:   Beitrag drucken

Hi Zaph

Genau das Beispiel hatte ich mir auch überlegt. Nur irgendwie hatte ich dann nen Denkfehler. Ich hatte gedacht, dass dann ja auch jede nichtstetige Funktion CF-treu ist(Widerspruch zu a)). Aber bei der Definition von X und Y oben gibts ja gar keine nichtstetigen Funktionen...

MfG
C. Schmidt
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1044
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Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 16:43:   Beitrag drucken

Hi Zaph und Christian,

@Zaph:

tolles Beispiel- habe ich mir sofort notiert.

Wie sieht es aber mit CF- treuen Funktionen in IR aus?? gibt es dort eine CF- treue Funktion die nicht gleichmäßig stetig ist????

Gruß N.
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1638
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Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 20:30:   Beitrag drucken

f(x) = x sin 1/x für x != 0
f(x) = 0 für x = 0

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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1048
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Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 21:24:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

daneke- deine Beispiele sind immer große Klasse!
So kann ich mir wenigstens etwas unter CF- treuen Funktionen vorstellen....

Bilden den nun die CF treuen Funktionen einen Ring wie die stetigen Funktionen oder nur einen Vektorraum wie die gleichmäßig stetigen Funktionen?

Gruß N.
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1642
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Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 21:33:   Beitrag drucken

Hallo Niels,

bitte sage genauer, was du meinst. Wir reden doch meistens (nur) über metrische Räume. Dort ergibt die Addition/Multiplikation im Allgemeinen keinen Sinn.

Z.
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1050
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Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 21:59:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

es gelte wieder

(x,dx) (Y,dy) metrische Räume f:X->Y eine stetige und Cauchy Folgen true Funktion.

Betrachte den Raum
Ccf(x,Y) wie die anderen Funktionenräume

definiere

"+" (f,g):=x->f(x)+g(x)
"*"(f,g):=x->f(x)*g(x)

wie halt bei den Ring der stetigen Funktionen auch...

Gruß N.


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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1644
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Veröffentlicht am Freitag, den 23. April, 2004 - 22:15:   Beitrag drucken

Auf Y ist doch aber erst einmal keine Addition und Multiplikation definiert.
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1051
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Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 12:13:   Beitrag drucken

Hi Zaph, sorry, du hast natürlich Recht,

dann betrachten wir doch CCF(X,IR) den Raum der reellwertigen CF treuen Abbildungen, und auf IR ist ja eine Addition und Multiplikation definiert.....

Gruß N.
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1646
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Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 14:03:   Beitrag drucken

Hallo Niels,

verstehe jetzt nicht ganz, wo noch ein Problem ist. Wir hatten gesehen, dass stetig und CF-treu dasselbe ist. Außerdem hatte ich verstanden, dass du bereits weißt, dass die stetigen Funktionen nach IR einen Ring bilden.

Z.
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1055
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Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 14:15:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

CF treu und stetig ist gerade nicht das selbe!!!!

Es geilt zwar:

CF treu => stetig, aber es gilt i.A. nicht stetig=>CF treu! (Gegenbeispiel f(x)=1/x ist stetig aber nicht CF treu!)

ich weiß, das die stetigen Funktionen einen Ring bilden, von den CF treuen Funktionen weiß isch das noch nicht- ich schließen es nur aus den Aufgabenstellungen vom Zettel!

Es ist ja auch so, das die stetigen Funktionen einen Ring bilden, die gleichmäßig stetigen aber nur ein Vektorraum (obwohl natürlich jede gelichmäßig stetige Funktion selbstverständlich stetig ist.)

daher darf ich nicht annehmen, das die CF- treuen Funktionen ein Ring bilden, sondern dsas müsste noch beweiesen werden....

CF treue ist halt eine "nützliche" Eigenschaft- ein Zwischending zwischen Stetig und Gleichmäßig stetig....

Gruß N.
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1648
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Veröffentlicht am Samstag, den 24. April, 2004 - 14:29:   Beitrag drucken

O Mann, jetzt komme ich auch durcheinander ;-)

Es ist ja nur noch offen, ob mit zwei CF-treuen Funktionen f und g auch das Produkt f*g CF-treu ist.

Das müsste mit den epsilon-delta-Definitionen hinzukriegen sein.

Versuch's mal! Melde mich erst morgen wieder ...

Z.
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1058
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 13:17:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

ein Epsilon Delta Kriterium gibt es nur für stetige Abbildungen! damit wäre es in der Tat einfach zu zeigen dassie einen Ring bilden!

Aber für CF- treue Funktionen wissen wir so etwas nicht!

Daher weis ich nicht wie ich mit epsilon Deta ansetzen soll...

Gruß N.
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Zaph (Zaph)
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Nummer des Beitrags: 1649
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 16:10:   Beitrag drucken

Okay, okay, vergiss das delta!

Seien f und g CF-treu. zeige: f*g ist CF-treu.

Sei (x_n) CF. Zeige: (f(x_n)*g(x_n)) ist CF.

Sei epsilon > 0.

Es sind nach Voraussetzung (f(x_n)) und (g(x_n)) CF. Insbesondere sind (f(x_n)) und (g(x_n)) dann beschränkt. Sei |f(x_n)| < M und |g(x_n)| < M für alle n.

Weiter existieren N1 und N2, sodass
|f(x_n) - f(x_m)| < epsilon/(2M)
und
|g(x_n) - g(x_m)| < epsilon/(2M)
für alle n,m > N1 und n,m > N2.

Dann ist für n,m > N := max(N1,N2)
|f(x_n)*g(x_n) - f(x_m)*g(x_m)|
= |f(x_n)*g(x_n) - f(x_n)*g(x_m) + f(x_n)*g(x_m) - f(x_m)*g(x_m)|
<= |f(x_n)*g(x_n) - f(x_n)*g(x_m)| + |f(x_n)*g(x_m) - f(x_m)*g(x_m)|
= |f(x_n)| * |g(x_n) - g(x_m)| + |f(x_n) - f(x_m)| * |g(x_m)|
< M * epsilon/(2M) + epsilon/(2M) * M
= epsilon. -
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1063
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Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 19:48:   Beitrag drucken

Hi Zaph!

vielen Dank!

wie sieht es mit der "Verkettung" von CF treuen Funktionen (ist richtig (glaube ich) Beweis???)

Und wieso brauche ich die Addition nicht besonders betrachten? ist es so zu sagen trivial, das f+g CF treu ist, wenn f, g CF- treu sind?

Gruß N.
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1652
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Sonntag, den 25. April, 2004 - 20:28:   Beitrag drucken

Hi Niels,

dass die Verkettung von CF-treuen Funktionen wieder CF-treu ist (sofern die Verkettung definiert ist), ist in der Tat trivial.

Die Addition ist einfacher als die Multiplikation. Man sollte das schon noch aufschreiben. Ebenso die restlichen Dinge, die für den Ring notwendig sind. Ich hoffe, das bekommst du jetzt alleine hin.

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