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Trennung von x und y...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Metrischer Raum/Topologie » Trennung von x und y... « Zurück Vor »

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Cornelius (Cornelius)
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Junior Mitglied
Benutzername: Cornelius

Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Montag, den 19. April, 2004 - 23:57:   Beitrag drucken

Hi!

Ich hab hier wiedermal ne Aufgabe, wo ich nicht so ganz weiter komme. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen...

Also:

Sei (X,d) ein metrischer Raum und x und y zwei unterschiedliche Elemente von X. Dann gibt es zwei offene Kugeln Bx und By in X, so dass x Element Bx, y Element By und Bx geschnitten mit By=0 (also leere Menge).
Als Bemerkung stand noch drunter, dass man das als Trennung von x und y bezeichnet...

Ich hab absolut keinen Plan, was ich machen soll.

Danke schonmal!

Gruß
Cornelius
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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1021
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 08:30:   Beitrag drucken

Hi Cornelius,

jo, das ist das T2- Axiom. du willst also zeigen das ein metrischer Raum Hausdorfsch ist.....

Tipp: betrachte die offenen Kugeln mit Radius epsilon/2.....

oder warte bis heute Abend, dann kann ich dir den Beweis hier zeigen.....

Gruß N.
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Cornelius (Cornelius)
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Junior Mitglied
Benutzername: Cornelius

Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 09:49:   Beitrag drucken

Das mit dem Hausdorfsch hatten wir noch gar nicht in der Vorlesung. Wäre schön, wenn du mir das heute abend hier mal zeigen könntest.

Gruß
Cornelius
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1351
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 11:11:   Beitrag drucken

Hi Cornelius, Hi Niels :-)

Nachdem mein Zivildienst gestern zu Ende gegangen ist, hab ich jetzt endlich auch mal wieder Zeit fürs Forum hier...

Nun zur Aufgabe. Setze d(x,y)=e.
Betrachte die offenen e/2 - Umgebungen Be/2(x)und Be/2(y) von x und y. Diese sind disjunkt. Denn angenommen es würde ein z existieren, dass in beiden Mengen liegt. Dann gilt e=d(x,y)£d(x,z)+d(z,y)<e/2+e/2=e
Widerspruch.

Jetzt nochmal zu der Sache mit dem Hausdorff-Raum, die Niels schon angedeutet hat. Man nennt X einen Hausdorff-Raum, wenn zu x,y Element X, x¹y Umgebungen existieren, die disjunkt sind. Hat man einen Hausdorff-Raum vorliegen, so sind Grenzwerte eindeutig bestimmt. Und oben haben wir bewiesen, dass metrische Räume Hausdorff-Räume sind.

MfG
C. Schmidt
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1293
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 12:32:   Beitrag drucken

Hi Christian S.,

schön das du wieder dabei bist! Man hatte dich wohl schon vermisst!

Darf man fragen was dein Zivildienstjob war? Meine Bundeswehrzeit ist ja auch schon vorbei!

mfg

ferdi
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1352
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 12:45:   Beitrag drucken

Hallo Ferdi :-)

Ich war in einem Wohnheim für behinderte Menschen(Lebenshilfe). Hatte da irgendwie total unregelmäßige Arbeitszeiten. Z.B. Samstags und Sonntags jeweils von 8 Uhr morgens bis 8 Uhr Abends ;)
Dann hab ich auch noch Fernstudium Mathe/Physik gemacht, wodurch ich dann wirklich so gut wie keine Zeit mehr hatte...
Naja, jetzt hab ich erstmal ne recht lange Zeit frei und da werd ich mich hier natürlich auch wieder häufiger blicken lassen :-)
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1022
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. April, 2004 - 15:53:   Beitrag drucken

Hallo Leute,

@Christian S:

sehr schön, du hast mir den beweis geklaut:-)
exakt auf die Art und Weise hätte ich es auch bewiesen....

In der Tat sind metrische Räume Hausdorfsch- also erfüllen das T2- Axiom. Sie sind aber noch viel mehr- sie sind sogenannte "Tietze Räume" d.h sie erfüllen die Axiome T1;T2;T3;T3a;T4. Alle nachzulesen unter den Stichwort "Trennungsaxiome" in jedem guten (mengentheoretischen)Topologie Buch.

metrische Räume sind wirklich fantastische Gebilde....heute in meiner Analysis II Vorlesung kam das erste Highlight ans Tageslicht: Der Satz von (Arselat) Ascoli....

naja, man hört wieder voneinander....

Gruß N.

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