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Lockere Folge 231 : Mantelfläche eine...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Geometrie » Lockere Folge 231 : Mantelfläche eines Rotationskörpers 1 « Zurück Vor »

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3567
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Februar, 2004 - 12:31:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

In der Aufgabe LF 231 ist eine Rotationsfläche zu berechnen.

Gegeben ist die Bernoullische Lemniskate
r^2 = 4 a^2 cos(phi) sin(phi)
(Polarkoodinatendarstellung mit der x-Achse als Polarachse)
Eine Schleife der Lemniskate rotiert um die x-Achse.
Man berechne die Oberfläche des Rotationskörpers.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1146
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 23. Februar, 2004 - 16:15:   Beitrag drucken

Hi megamath,

nützt hier folgender Ansatz:

F = 2pi ò y ds

mit ds = sqrt(r^2 + r'^2) d{phi}

Ich habe nur probleme mit den Grenzen des Integrals, die untere müsste 0 sein, nur die obere?? Oder ist hier ein anderer Ansatz Nutzbringender?

Jetzt muss ich erstmal zum Truppenarzt, wegen eines Fieberanfalls... Bis später

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3572
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 23. Februar, 2004 - 21:23:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Dein Ansatz ist richtig; als Grenzen setze
unten 0, oben 1/2 Pi.
Als Oberfläche kommt die Oberfläche einer
"gewissen" Kugel;schau recht hin bei wachen Sinnnen !

MfG
H.R.Moser,megamath
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Kläusle (Kläusle)
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Benutzername: Kläusle

Nummer des Beitrags: 519
Registriert: 08-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Februar, 2004 - 09:56:   Beitrag drucken

Hi Megamath, Ferdi

Mein Ansatz lautete:

phi sei der Kürze halber z

M = 2pi * Integral[r * sin(z) * sqrt(r^2 + r°^2)] dz

Das Ergebnis lautet:

M = 4 * pi * a^2

Stimmt das??
MfG Klaus
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1149
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Februar, 2004 - 10:00:   Beitrag drucken

Hi megamath,

es hat lange gedauert, aber als mir die lohnende Idee kam, da hats gepasst! Die Oberfläche beträgt:

O = 4 a^2 pi

Das ist gleich der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius a!

Hier meine Rechnung kurz angerissen:

Schreibe: 2*sin(p)*cos(p) = sin(2p)
Dann:
r = a * sqrt(2*sin(2p))
r^2 = 2a^2 * sin(2p)

2*r*r' = 4a^2 * cos(2p)
r'^2 = 2a^2 * cos(2p)^2

==>
2piò0 pi/2 a^2*sqrt(2sin(2p)) * sqrt( 2sin(2p) + [2cos^2(2p)/sin(2p)])

==> Alles ausrechnen:
4piò0 pi/2 sin(p) dp

Worraus der Rest dann hervorgeht!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3575
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Februar, 2004 - 10:23:   Beitrag drucken

Hi Klaus,Hi Ferdi



Mit einer vernachlässigbar kleinen Zeitdifferenz
auf der Schaltuhr habt Ihr Beide das richtige Resultat,eine
veritable Kugelfläche, Bravo!
Besten Dank

MfG
H.R.Moser,megamath

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