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Stetigkeit von y=1/x beweisen

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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 953
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 20:44:   Beitrag drucken

Hi Leute,

Preisfrage:

wie kann ich die stetigkeit von y=1/x beweisen?

ich weis das am einde für mein d ein min{...;...} Term rauskommen müsste- leider sind aber meine Aufzeichnungen zu sperlich....

gibt es ein allgemeines verfahren mit dem ich die Stetigkeit von y=1/xn beweisen kann?

mfg

Niels
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 277
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 21:32:   Beitrag drucken

1/x^n - 1/y^n = (y^n - x^n)/(x^n*y^n) und für den Zähler gibts so ne schicke Ziehharmonika-Formel, eine Verallgemeinerung von der 3. binomischen F.
y^2 - x^2 = (y - x)*(y + x)
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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 955
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 22:03:   Beitrag drucken

Hi Sotux,

exakt an so etwas hatte ich gedacht:

|1/x-1/y|=|x-y|/|xy|<d/|xy|

und wie schätze ich nun den Nenner weiter ab?

mfg

Niels
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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 957
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 16:52:   Beitrag drucken

Hi, weis keiner wie man den Term:

d/|xy|<e abschätzen kann?

wäre für eine Hilfreiche Antwort dankbar!

mfg

Niels
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Zaph (Zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1533
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 20:08:   Beitrag drucken

Sei x > 0 und epsilon > 0.

Setze delta := min(x/2,x²epsilon/2)

Sei nun |y - x| < delta.

Dann ist y > x/2 > 0.

Es folgt

|1/x - 1/y|
= |x - y|/(xy)
< delta/(x*x/2)
= 2delta/x²
<= epsilon

Gruß
Z.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 960
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 21:39:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

vielen Dank für deine Antwort!

Ich habe den verdacht, das es für y=x^(-n) eine solche min Abschätzung allgemein gilt. Ist das korrekt?

mfg

Niels
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1538
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 22:00:   Beitrag drucken

Weißt du schon, dass das folgende gilt?

1) x^n ist stetig
2) Wenn f und g stetig, dann auch f°g

Dann ist nämlich nichts mehr zu zeigen. (Setze g(x) = 1/x, f(x) = x^n)
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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 280
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 22:44:   Beitrag drucken

1/x^n - 1/y^n = (y-x)*[y^(n-1) + y^(n-2)*x + ... + x^(n-1)] / (x^n*y^n)
wenn x,y>0 und u=min(x,y),v=max(x,y) gilt
|1/x^n - 1/y^n| <= |y-x| * n * v^(n-1) / (v^n*u^n) = |y-x| * n / (v*u^n) <= |y-x| * n / u^(n+1),
d.h. solange du von der 0 wegbleibst kann nix passieren.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 962
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 17:11:   Beitrag drucken

Hi Leute,

ich dachte eher an eine Abschätzung:

d=min{x/2;e*x^(n+1)/(n+1)!}

gilt diese delta Abschätzung allgemein?

für n=1 also y=1/x ist das Zaph's Abschätzung und für n=2 also y=1/x² ließe sich wohl die Rechnung leicht führen....

Wie gesagt...gilt sie Allgemein?

mfg

N.
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Sotux (Sotux)
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Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 285
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 22:40:   Beitrag drucken

Ich denke, ein bisschen vorsichtiger sollte man schon sein. Spendier noch ein 0<a<1 und setze delta = min ((1-a)*x, eps*(a*x)^(n+1)/n) .
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Niels2 (Niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 963
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 13:21:   Beitrag drucken

Hi Sotux,

ok, aber unter den zusätzlichen Voraussetzungen stimmt dann die Abschätzung oder?

mfg

Niels
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 286
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 15:50:   Beitrag drucken

Ja, die gilt allgemein, egal welches a du dir wählst. Bei 1/2 hast du also
delta = min (x/2,eps*(x/2)^(n+1)/n)

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