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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 953 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 20:44: |
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Hi Leute, Preisfrage: wie kann ich die stetigkeit von y=1/x beweisen? ich weis das am einde für mein d ein min{...;...} Term rauskommen müsste- leider sind aber meine Aufzeichnungen zu sperlich.... gibt es ein allgemeines verfahren mit dem ich die Stetigkeit von y=1/xn beweisen kann? mfg Niels |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 277 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 21:32: |
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1/x^n - 1/y^n = (y^n - x^n)/(x^n*y^n) und für den Zähler gibts so ne schicke Ziehharmonika-Formel, eine Verallgemeinerung von der 3. binomischen F. y^2 - x^2 = (y - x)*(y + x) |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 955 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 08. Februar, 2004 - 22:03: |
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Hi Sotux, exakt an so etwas hatte ich gedacht: |1/x-1/y|=|x-y|/|xy|<d/|xy| und wie schätze ich nun den Nenner weiter ab? mfg Niels |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 957 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 16:52: |
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Hi, weis keiner wie man den Term: d/|xy|<e abschätzen kann? wäre für eine Hilfreiche Antwort dankbar! mfg Niels |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1533 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Februar, 2004 - 20:08: |
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Sei x > 0 und epsilon > 0. Setze delta := min(x/2,x²epsilon/2) Sei nun |y - x| < delta. Dann ist y > x/2 > 0. Es folgt |1/x - 1/y| = |x - y|/(xy) < delta/(x*x/2) = 2delta/x² <= epsilon Gruß Z.
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 960 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 21:39: |
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Hi Zaph, vielen Dank für deine Antwort! Ich habe den verdacht, das es für y=x^(-n) eine solche min Abschätzung allgemein gilt. Ist das korrekt? mfg Niels |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1538 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 22:00: |
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Weißt du schon, dass das folgende gilt? 1) x^n ist stetig 2) Wenn f und g stetig, dann auch f°g Dann ist nämlich nichts mehr zu zeigen. (Setze g(x) = 1/x, f(x) = x^n) |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 280 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Februar, 2004 - 22:44: |
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1/x^n - 1/y^n = (y-x)*[y^(n-1) + y^(n-2)*x + ... + x^(n-1)] / (x^n*y^n) wenn x,y>0 und u=min(x,y),v=max(x,y) gilt |1/x^n - 1/y^n| <= |y-x| * n * v^(n-1) / (v^n*u^n) = |y-x| * n / (v*u^n) <= |y-x| * n / u^(n+1), d.h. solange du von der 0 wegbleibst kann nix passieren. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 962 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 12. Februar, 2004 - 17:11: |
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Hi Leute, ich dachte eher an eine Abschätzung: d=min{x/2;e*x^(n+1)/(n+1)!} gilt diese delta Abschätzung allgemein? für n=1 also y=1/x ist das Zaph's Abschätzung und für n=2 also y=1/x² ließe sich wohl die Rechnung leicht führen.... Wie gesagt...gilt sie Allgemein? mfg N. |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 285 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 13. Februar, 2004 - 22:40: |
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Ich denke, ein bisschen vorsichtiger sollte man schon sein. Spendier noch ein 0<a<1 und setze delta = min ((1-a)*x, eps*(a*x)^(n+1)/n) . |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 963 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 13:21: |
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Hi Sotux, ok, aber unter den zusätzlichen Voraussetzungen stimmt dann die Abschätzung oder? mfg Niels |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 286 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 14. Februar, 2004 - 15:50: |
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Ja, die gilt allgemein, egal welches a du dir wählst. Bei 1/2 hast du also delta = min (x/2,eps*(x/2)^(n+1)/n) |