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Lockere Folge 209 : Schraubenlinie I X

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3482
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 16:16:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 209 sollen am Beispiel der
Schraubenlinie das begleitende Dreibein der Kurve,
bestehend aus den Achsen Tangente, Hauptnormale,
Binormale und den Ebenen
Normalebene, Schmiegungsebene und
rektifizierende Ebene vorgeführt werden

Die Bezeichnungen sind dieselben wie in den
vorangehenden Aufgaben über die Schraubenlinie


Die Aufgabe ist eine Repetitionsaufgabe und lautet:
Gegeben ist die gewöhnliche Schraubenliie
r = { a cos ( s / k) ; a sin (s / k) ; b s / k },
wobei k = wurzel (a^2+b^2) gilt; der Parameter s
stimmt mit der Bogenlänge überein.

Man ermittle im laufenden Punkt P der Kurve


a)
den Tangenteneinheitsvektor v,
der die so genannte Tangente t im Dreibein bestimmt.

b)
die Gleichung der zu t senkrechten Ebene durch P;
die Ebene heißt Normalebene NE
(siehe Aufgabe LF 208).

c)
den Beschleunigungsvektor w,
der die so genannte Hauptnormale n bestimmt.

d)
die Gleichung der dazu senkrechten Ebene durch P,
die Ebene heißt rektifizierende Ebene RE

e)
das Vektorprodukt p = v mal w,
der die so genannte Binormale b bestimmt.

f)
die Gleichung der dazu senkrechten Ebene durch P,
die Ebene heißt Schmiegungsebene,
die wir schon aus Aufgabe LF 206 kennen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 368
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 17:19:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Zunächst a)-c):

a)

v=r´/|r´|=1/k*(-a*sin(t),a*cos(t),b)


b)

x0´(x-x0)+y0´(y-y0)+z0´(z-z0)=0

Dies ergibt zunächst

a*sin(t)*x-a*cos(t)*y+b*z-b^2*t=0

Mit sin(t)=y0/a ; cos(t)=x0/a ; b*t=z0

y0*x-x0*y+b*z-b*z0=0


c)

Hauptnormaleneinheitsvektor:

w=v´/|v´|=1/a*(-a*cos(t),-a*sin(t),0)=(-cos(t),-sin(t),0)


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3483
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 17:24:   Beitrag drucken

Hi Olaf,



Besten Dank.
Bald schon kommt LF 210 !

MfG
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 370
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 21:01:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Zu d)

x=a*cos(s/k)

y=a*sin(s/k)

z=b*s/k

Diesmal leite ich nach s ab!

x"=-a*cos(s/k)/k2

y"=-a*sin(s/k)/k2

z"=0

Für die rektifizierende Ebene gilt:

x0"(x-x0)+y0"(y-y0)+z0"(z-z0)=0

Daraus ergibt sich

a*cos(s/k)*x+a*sin(s/k)*y-a2=0

Mit sin(s/k)=y0/a und cos(s/k)=x0/a erhält man

x0*x+y0*y-a2=0
---------------


Zu e)

v=1/k*(-a*sin(s/k),a*cos(s/k),b)

w=1/k^2*(-a*cos(s/k),-a*sin(s/k),0)

v x w=a/k^3*(b*sin(s/k),-b*cos(s/k),a)


Zu f)

Man berechnet

|x-x0 y-y0 z-z0|
|x0´ y0´ z0´| =0
|x0" y0" z0"|

und erhält

y0*x-x0*y+a2/b*z-a2*s/k=0


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3486
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 02. Februar, 2004 - 21:30:   Beitrag drucken

Hi Olaf,

Bestens !
Ich danke Dir für Deinen Einsatz!

Für mich ist jetzt Feierabend !

MfG
H.R.Moser,megamath

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