Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Induktionsbeweis einer Ungleichung

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Beweise » Induktionsbeweis einer Ungleichung « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Niels2 (Niels2)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 937
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 18:47:   Beitrag drucken

Hallo,

mir ist diese Frage echt peinlich, aber wie beweise ich folgende Aussage für alle n Element N
per Induktion?

3n>n²

der Induktionsanfang für n=1 ist ja trivial,
aber mir gelingt es nicht das Ding im Induktionsschritt richtig Abzuschätzen....

ich würde mich über eine Antwort freuen...

mfg

Niels
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 776
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 19:29:   Beitrag drucken

Niels,

Die Beh. 3n > n3 gilt für n=1,2 und für alle n>3.
Sie stimmt für n=4 und sei für irgendein n >= 4 schon
gesichert. Für dieses n gilt dann nach Ind.-Ann.:

3n+1 = 3*3n > 3 n3.

Zu zeigen : 3 n3 >=(n+1)3 für alle n >=4.

Für n>= 4 ist aber

1/n £ 1/4 => (1+1/n)3 £ (5/4)3 < 3

=> (n+1)3 < 3 n3.
mfG Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Niels2 (Niels2)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 938
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 20:09:   Beitrag drucken

Hi Orion,

ich wollte aber eigentlich

3n>n² haben, nicht 3n>n³ ich nehme aber an das der fall mit n² analog zu deinem obigen beweis funktioniert....

oder sehe ich das falsch?

vielen dank für deine Hilfe...
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 777
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 07:51:   Beitrag drucken

Niels,

leider habe ich wohl falsch gelesen (ich habe nur einen
12" Monitor und sehe nicht besonders gut). Das macht
aber nichts, denn es ist ohnehin n3 >= n2.
Ausserdem ist

3n2 >= (n+1)2 <=> (2n-1)2 >= 1

für n >= 1 offensichtlich erfüllt.
mfG Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Niels2 (Niels2)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 939
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 10:00:   Beitrag drucken

Hallo Orion,

wie kommst du auf die Abschätzung?

das 3n²>(n+1)^2 ist in der Tat zu zeigen, mein Problem ist jetzt, wie es weiter geht....

3n²>(n+1)²<=>3n²>n²+2n+1<=>2n²>2n+1

so und nun? wenn sowas in der Analysis I Abschlußklausur drankommt kann ich jetzt nicht hinschreiben "der Rest ist trivial"....
zumal ja die Abschätzung 2n^²>2n+1 für n=1 falsch ist...(2>3 ist ja falsch...)

vielleicht könntest du deine Lösung noch etwas ausführlicher erläutern....

vielen Dank für deine Bemühungen Orion:

ps: Besonders gut sehe ich auch nicht:-) ich bin nämlich Blind....
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 493
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 16:48:   Beitrag drucken

Hi Niels!
Kannst du die quadratische Ungleichung nicht einfach ganz normal auflösen?
2n² > 2n + 1
2n² - 2n > 1
n² - n > 1/2
Quadratische Ergänzung:
n² - n + 1/4 > 3/4
(n - 1/2)² > 3/4
n - 1/2 > 1/2 * Ö3 oder
n - 1/2 < -1/2 * Ö3
n > 1/2 + 1/2 * Ö3 oder n < -1/2+1/2*Ö3
Die 2. Bedingung ist wegen n aus N uninteressant.
Die erste Bedingung sagt dagegen aus, dass die Ungleichung für alle n > 1 erfüllt ist.
Oder habe ich etwas übersehen?
Mit freundlichen Grüßen
Jair
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Orion

Nummer des Beitrags: 778
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 16:51:   Beitrag drucken

Niels,

Also :

Beh.: Für alle n e N gilt 3n > n2.

Bew.: Induktion bzgl. n

Ind.-Anf.: Beh. ist wahr für n=1 : 31 > 12, und
n=2 : 32 > 22.

Ind.-Ann.: Für irgendein n >= 2 gelte

3n > n2

Ind.-Beh.: Für dieses n ist

3n+1 > (n+1)2

Ind.-Schluss:

3n+1 = 3*3n (Potenzregel)

> 3 n2 (Ind.-Ann.)

Bleibt zu zeigen, dass für n >= 2 :

(*) 3 n2 >= (n+1)2.

(*) ist äquivalent mit

2 n2 - 2n >= 1 <=>4 n2-4 n >= 2 <=>

(2n-1)2 >= 3 (quadratische Ergänzung)

Letztere Ungl. gilt evidentermassen für jedes n >= 2.


mfG Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Niels2 (Niels2)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 941
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 19:10:   Beitrag drucken

Hi Leute,

mein gott ist mir das peinlich!!!!

natürlich klar, ist logisch, aber irgendwie habe ich den Wald mal wieder vor lauter Bäumen nicht gesehen....

vielen vielen Dank Orion und Jair!

Ihr seit echt Spitze!

mfg

Niels

Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Hansibal (Hansibal)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Mitglied
Benutzername: Hansibal

Nummer des Beitrags: 44
Registriert: 11-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 09:41:   Beitrag drucken

Das geht noch viel einfacher, indem man zeigt, dass die erst Ableiung von der einen Site größer wird als die andere.
2mal abgeleitet, komme ich auf
3^n*ln(3)^2>2 und das gilt ab n=2, findet mn jetzt noch ein wert wos stimmt, ist alles erledigt.
mfg
hansibl
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Mainziman (Mainziman)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 800
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 10:04:   Beitrag drucken

Hi,

was ist davon zu halten?

I: 3^n > n^2 <-- Ind. VS.
II: 3^(n+1) > (n+1)^2 <-- Ind. Ann.

II/I: 3 >= (n+1)^2/n^2 <-- Ind. Schluß
3 >= ((n+1)/n)^2
3 >= (1+1/n)^2
und das gilt offensichtlich

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Jair_ohmsford (Jair_ohmsford)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Jair_ohmsford

Nummer des Beitrags: 723
Registriert: 10-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 17:35:   Beitrag drucken


quote:

3 >= (1+1/n)2
und das gilt offensichtlich




... für n > 1, um ganz sauber zu bleiben :-)

Viele Grüße
Jair

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page