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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3470 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 08:52: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 206 soll die Gleichung der so genannten Schmiegungsebene für die Schraubenlinie H ermittelt werden. Es ist die Parameterdarstellung von H mit t als Parameter gegeben: x = a cos t, y = a sin t , z = b t. Für die Berechnungen soll konsequent die Bogenlänge s = k * t mit k = wurzel (a^2 + b^2) als Parameter eingesetzt werden. p ist der gleich bezeichnete Vektor aus der Aufgabe LF 205; er ist das Vektorprodukt des Geschwindigkeitsvektors v und des Beschleunigungsvektors w; siehe dort! Die Aufgabe lautet: Ermittle die Gleichung derjenigen Ebene SCHM, die durch den laufenden Punkt P der Schraubenlinie geht und auf dem Vektor p senkrecht steht. Anm.: SCHM heisst Schmiegungsebene der Kurve im Punkt P. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 364 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 12:38: |
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Hi Megamath, Zunächst noch eine Verständnisfrage: Ich habe relativ gute Unterlagen zu diesem Thema.Überall wird aber die gesamte Rechnung mit dem Parameter t gerechnet.Wenn ich direkt t=s/k einsetze,komme ich mit meinen Unterlagen nicht mehr zurecht. Ich habe folgendes vor: Ich nehme r(t) als Ortsvektor,aus dem Vektorprodukt von Tangentenvektor und Hauptnormalenvektor ergibt sich der Normalenvektor der gesuchten Ebene.Die gesamte Rechnung geschieht zunächst in Abhängigkeit von t. Nun kann ich für t=s/k einsetzen.Ist das in Ordnung,oder spricht etwas dagegen so vorzugehen? Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3471 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 13:11: |
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Hi Olaf, Das sollte auch gehen und ist womöglich einfacher. ich komme später auf die Angelegenheit zurück. MfG H.R.Moser,megamath |
Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 365 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 16:56: |
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Hi Megamath, Ich bin gespannt auf die Lösung.Ich erhalte leider keinen einfacheren Ausdruck als sin(s/k)*x-cos(s/k)*y+a/b*z-a*s/k=0 Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3473 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 17:27: |
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Hi Olaf, Im Laufe meiner eigenen Rechnung bin ich auf dasselbe Resultat gestossen, ein gutes Omen ! Ich habe es noch ein wenig frisiert. Der allgemeine Punkt der Schraubenlinie, in welchem die Schmiegungsebene ermittelt werden soll, sei Po(xo/yo/zo). P(x/y/z) sei der laufende Punkt der Schmiegungsebene; ihre Gleichung kann dann so geschrieben werde: b yo x – b xo y + a ^ 2 z = a ^ 2 zo. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Weitere Ausführungen dazu folgen später! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3475 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 20:41: |
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Hi allerseits Wenn es darum geht, für eine Raumkurve c x = x(t), y = y(t), z = z(t) deren Schmiegungsebene Es mit laufendem Punkt P(x/y/z) auf Es in einem gegebenen Punkt Po(xo/yo/zo) ,Parameterwert to, von c zu bestimmen, geht man am besten so vor. Diese Gleichung von Es entsteht aus einer (3,3)-Determinante D, welche null gesetzt wird. Die Determinante D lautet: erste Zeile: x – xo, y - yo, z – zo zweite Zeile: erste Ableitungen x°(to) , y°(to), z°(to) dritte Zeile: zweite Ableitungen x°°(to) , y°°(to), z°°(to) Man ist schon am Ziel. Der geneigte Leser erkennt ein Vektorprodukt ! Als Eselsbrücke (pons asinorum) merke man sich: Die Schmiegungsebene wird durch zwei „ infinitesimal benachbarte“ Tangenten aufgespannt. Daher nennt man die senkrechte Gerade durch Po zur Schmiegungesebene Binormale. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3477 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 10:41: |
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Hi Olaf, Wie kommt man von der von Dir hergeleiteten Form sin(s/k)*x - cos(s/k)*y + a/b*z - a*s/k=0 der Schmiegungsebene auf die Form b yo x – b xo y + a ^ 2 z = a ^ 2 zo, die wir fortan verwenden wollen? Antwort: aus sin(s/k) wird yo / a aus cos(s/k) wird xo / a eingesetzt in Deine Gleichung ergibt: yo x – xo y + a^2/ b z = a^2 s / k oder b yo x – b xo y + a ^ 2 z = a ^ 2 b s /k Wegen b s/k = zo wird aus der rechten Seite a^2 zo, wie es sein muss. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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