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Lockere Folge 206 : Schraubenlinie VI

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3470
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 08:52:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 206 soll die Gleichung
der so genannten Schmiegungsebene
für die Schraubenlinie H ermittelt werden.

Es ist die Parameterdarstellung von H mit t als Parameter
gegeben:
x = a cos t, y = a sin t , z = b t.

Für die Berechnungen soll konsequent
die Bogenlänge s = k * t mit k = wurzel (a^2 + b^2)
als Parameter eingesetzt werden.
p ist der gleich bezeichnete Vektor aus der Aufgabe LF 205;
er ist das Vektorprodukt des Geschwindigkeitsvektors v
und des Beschleunigungsvektors w; siehe dort!

Die Aufgabe lautet:
Ermittle die Gleichung derjenigen Ebene SCHM,
die durch den laufenden Punkt P der Schraubenlinie geht
und auf dem Vektor p senkrecht steht.

Anm.:
SCHM heisst Schmiegungsebene der Kurve im Punkt P.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 364
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 12:38:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Zunächst noch eine Verständnisfrage:

Ich habe relativ gute Unterlagen zu diesem Thema.Überall wird aber die gesamte Rechnung mit dem Parameter t gerechnet.Wenn ich direkt t=s/k einsetze,komme ich mit meinen
Unterlagen nicht mehr zurecht.
Ich habe folgendes vor:

Ich nehme r(t) als Ortsvektor,aus dem Vektorprodukt von Tangentenvektor und Hauptnormalenvektor ergibt sich der Normalenvektor der gesuchten Ebene.Die gesamte Rechnung
geschieht zunächst in Abhängigkeit von t.
Nun kann ich für t=s/k einsetzen.Ist das in Ordnung,oder spricht etwas dagegen so vorzugehen?


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3471
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 13:11:   Beitrag drucken

Hi Olaf,

Das sollte auch gehen und ist womöglich einfacher.
ich komme später auf die Angelegenheit zurück.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 365
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 16:56:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Ich bin gespannt auf die Lösung.Ich erhalte leider keinen einfacheren Ausdruck als

sin(s/k)*x-cos(s/k)*y+a/b*z-a*s/k=0


Gruß,Olaf
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3473
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 17:27:   Beitrag drucken

Hi Olaf,

Im Laufe meiner eigenen Rechnung bin ich auf dasselbe
Resultat gestossen, ein gutes Omen !
Ich habe es noch ein wenig frisiert.
Der allgemeine Punkt der Schraubenlinie, in welchem
die Schmiegungsebene ermittelt werden soll,
sei Po(xo/yo/zo).
P(x/y/z) sei der laufende Punkt der Schmiegungsebene;
ihre Gleichung kann dann so geschrieben werde:
b yo x – b xo y + a ^ 2 z = a ^ 2 zo.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Weitere Ausführungen dazu folgen später!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3475
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 31. Januar, 2004 - 20:41:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Wenn es darum geht, für eine Raumkurve c
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
deren Schmiegungsebene Es mit laufendem Punkt P(x/y/z) auf
Es in einem gegebenen Punkt Po(xo/yo/zo) ,Parameterwert to,
von c zu bestimmen, geht man am besten so vor.
Diese Gleichung von Es entsteht aus einer (3,3)-Determinante D,
welche null gesetzt wird.

Die Determinante D lautet:
erste Zeile: x – xo, y - yo, z – zo
zweite Zeile: erste Ableitungen x°(to) , y°(to), z°(to)
dritte Zeile: zweite Ableitungen x°°(to) , y°°(to), z°°(to)

Man ist schon am Ziel. Der geneigte Leser erkennt ein
Vektorprodukt !

Als Eselsbrücke (pons asinorum) merke man sich:
Die Schmiegungsebene wird durch zwei „ infinitesimal
benachbarte“ Tangenten aufgespannt.
Daher nennt man die senkrechte Gerade durch Po zur
Schmiegungesebene Binormale.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3477
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Februar, 2004 - 10:41:   Beitrag drucken

Hi Olaf,



Wie kommt man von der von Dir hergeleiteten Form
sin(s/k)*x - cos(s/k)*y + a/b*z - a*s/k=0
der Schmiegungsebene auf die Form
b yo x – b xo y + a ^ 2 z = a ^ 2 zo,
die wir fortan verwenden wollen?

Antwort:
aus sin(s/k) wird yo / a
aus cos(s/k) wird xo / a
eingesetzt in Deine Gleichung ergibt:
yo x – xo y + a^2/ b z = a^2 s / k
oder
b yo x – b xo y + a ^ 2 z = a ^ 2 b s /k
Wegen b s/k = zo wird aus der rechten Seite
a^2 zo, wie es sein muss.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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