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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3467 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 16:11: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 205 sollen der Tangentenvektor und der Beschleunigungsvektor für die Schraubenlinie H sowie deren Krümmung berechnet werden. Es ist die Parameterdarstellung von H mit t als Parameter gegeben: x = a cos t, y = a sin t , z = b t. Für die nachfolgenden Berechnungen soll konsequent die Bogenlänge s = k * t mit k = wurzel (a^2 + b^2) als Parameter eingesetzt werden. Der Vektor r ist der Ortsvektor OP vom Nullpunkt nach dem laufenden Punkt P von H. r = { a cos (s / k) ; a sin (s / k) ; b s / k } v = r´ ist die Ableitung des Vektors r nach s (Tangentenvektor) w = r´´ ist die Ableitung des Vektors v nach t (Beschleunigungsvektor) Die Aufgabe lautet: a) Man berechne die Vektoren v und w b) Welches ist der Betrag des Vektors v? c) Der Betrag des Vektors w wird als Krümmung kappa der Kurve definiert; man berechne kappa! d) Man ermittle das Vektorprodukt p der Vektoren v und w: p = v x w =[v,w]. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 363 Registriert: 09-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 17:34: |
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Hi Megamath, Da ich noch weg muß,eine Kurzlösung: Zu a) Es ist v=(-a*sin(s/k),a*cos(s/k),b) und w=(-a*cos(s/k),-a*sin(s/k),0) Zu b) Der Betrag ist |v|=k=sqrt(a^2+b^2) Zu c) kappa=|dT/ds|=|T´(s)|=|r"(s)|=a Oder kappa=|r´(t) x r"(t)|/|r´(t)|^3 d) v x w=(a*b*sin(t),-a*b*cos(t),a^2) Ich hoffe,es haben sich keine Rechenfehler eingeschlichen. Gruß,Olaf (Beitrag nachträglich am 30., Januar. 2004 von heavyweight editiert) |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1104 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 19:01: |
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Hi Freunde, Olaf du hast die Kettenregel vergessen! v = { -a/k sin(s/k) , a/k cos(s/k) , b/k } w = { -a/k^2 cos(s/k) , -a/k^2 sin(s/k) , 0 } |v| = 1 kappa = |w| = a / (a^2 + b^2) Die Krümmung ist somit konstant! Erstaunlich! v x w = a / k^3 * { b*sin(s/k) , -b*cos(s/k) , a } mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 3469 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 21:45: |
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Hi Olaf, Hi Ferdi Vielen Dank für Eure spontanen Lösungen! Im Nenner fehlen bei Olaf die Faktoren 1/k und 1/k^2; der Lösungsweg ist sonst i.O. Die von Ferdi berechnete Krümmung kappa ist richtig, sie muss wohl eine Konstante sein, aus Gründen der Homogenität: denke an die Abwicklung des Zylindermantels x^2 + y^2 = a^2 samt Schraubenlinie; aus Letzterer wird eine Gerade. Kappa ist kleiner als 1/a. Im Grenzfall b = 0 wird die Schraubenlinie zum Leitkreis x^2 + y^2 = a^2; die Krümmung dieses Kreises ist gerade 1/a. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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