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Lockere Folge 205 : Schraubenlinie V

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3467
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 16:11:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Aufgabe LF 205 sollen der Tangentenvektor und der
Beschleunigungsvektor für die Schraubenlinie H
sowie deren Krümmung berechnet werden.

Es ist die Parameterdarstellung von H mit t als Parameter
gegeben:
x = a cos t, y = a sin t , z = b t.

Für die nachfolgenden Berechnungen soll konsequent
die Bogenlänge s = k * t mit k = wurzel (a^2 + b^2)
als Parameter eingesetzt werden.

Der Vektor r ist der Ortsvektor OP vom Nullpunkt
nach dem laufenden Punkt P von H.
r = { a cos (s / k) ; a sin (s / k) ; b s / k }
v = r´ ist die Ableitung des Vektors r nach s (Tangentenvektor)
w = r´´ ist die Ableitung des Vektors v nach t (Beschleunigungsvektor)

Die Aufgabe lautet:
a) Man berechne die Vektoren v und w
b) Welches ist der Betrag des Vektors v?
c) Der Betrag des Vektors w wird als Krümmung kappa der Kurve
definiert; man berechne kappa!
d) Man ermittle das Vektorprodukt p der Vektoren v und w:
p = v x w =[v,w].

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Heavyweight (Heavyweight)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight

Nummer des Beitrags: 363
Registriert: 09-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 17:34:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

Da ich noch weg muß,eine Kurzlösung:

Zu a)

Es ist

v=(-a*sin(s/k),a*cos(s/k),b)

und

w=(-a*cos(s/k),-a*sin(s/k),0)


Zu b)

Der Betrag ist

|v|=k=sqrt(a^2+b^2)


Zu c)

kappa=|dT/ds|=|T´(s)|=|r"(s)|=a

Oder

kappa=|r´(t) x r"(t)|/|r´(t)|^3


d)

v x w=(a*b*sin(t),-a*b*cos(t),a^2)


Ich hoffe,es haben sich keine Rechenfehler eingeschlichen.


Gruß,Olaf

(Beitrag nachträglich am 30., Januar. 2004 von heavyweight editiert)
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1104
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 19:01:   Beitrag drucken

Hi Freunde,

Olaf du hast die Kettenregel vergessen!

v = { -a/k sin(s/k) , a/k cos(s/k) , b/k }
w = { -a/k^2 cos(s/k) , -a/k^2 sin(s/k) , 0 }

|v| = 1

kappa = |w| = a / (a^2 + b^2)

Die Krümmung ist somit konstant! Erstaunlich!

v x w = a / k^3 * { b*sin(s/k) , -b*cos(s/k) , a }

mfg
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 3469
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 30. Januar, 2004 - 21:45:   Beitrag drucken

Hi Olaf, Hi Ferdi

Vielen Dank für Eure spontanen Lösungen!

Im Nenner fehlen bei Olaf die Faktoren 1/k und 1/k^2;
der Lösungsweg ist sonst i.O.
Die von Ferdi berechnete Krümmung kappa ist richtig,
sie muss wohl eine Konstante sein, aus Gründen der
Homogenität:
denke an die Abwicklung des Zylindermantels
x^2 + y^2 = a^2 samt Schraubenlinie;
aus Letzterer wird eine Gerade.

Kappa ist kleiner als 1/a.
Im Grenzfall b = 0 wird die Schraubenlinie zum
Leitkreis x^2 + y^2 = a^2; die Krümmung dieses
Kreises ist gerade 1/a.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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