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Beitrag |
    
Dudi (Dudi)
Junior Mitglied
Benutzername: Dudi
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 11-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Januar, 2004 - 17:04: | 
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hi,hab foldendes problem:
man soll beweisen,dass es zu jedem x>1 mit x ungleich exp(1) genau ein f(x)>0 gibt mit f(x)ungleich x und x^f(x)=(f(x))^x.
wie soll diese funktion aussehen??? |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 768
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Januar, 2004 - 18:09: |
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Dudi,
Hinweis: xy = yx <=> y1/y = x1/x. Betrachte also die Funktion
g(x) := x1/x = exp[(ln x)/x] , x > 1.
Wegen
g'(x) = (1-ln x)/x2*g(x)
gilt : g ist streng monoton wachsend für 1<x<e, streng
monoton fallend für x>e, und es ist
limx->¥ g(x) = 1. Jede horizontale Gerade
durch (x,g(x)) (1<x<e) schneidet den Graphen von g
in genau einem Punkt (y,g(y)) , y>e, und es ist g(y)=g(x). y ist durch x eindeutig bestimmt : y = f(x). Einen
expliziten Funktionsterm für f(x) kann man nicht angeben.
mfG Orion
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